1、第一章 推理与证明 A组基础巩固1命题“关于x的方程axb(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A无解B两解C至少两解 D无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”答案：D2有下列叙述：“ab”的反面是“ay或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”其中正确的叙述有()A0个 B1个C2个 D3个解析：错，应为ab；对；错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角答案：B3用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有
2、理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数解析：对“至少有一个”的否定应为“一个也没有”，故选B.答案：B4若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：因为a，b，c不全相等，所以正确；显然正确，中的ac，bc，ab可以同时成立，所以错，故选C.答案：C5已知x0，y0，z0，ax，by，cz，则a，b，c三个数(
3、)A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则abc6.而事实上abcxyz2226，与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个不小于2.答案：C6用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为_解析：“a，b全为0”即是“a0且b0”，因此它的反设为“a0或b0”，即a，b不全为0.答案：a，b不全为07用反证法证明命题“若p1p22(q1q2)，则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为_答案：两个方程都没有实数根8用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时
4、，应假设为_解析：对“且”的否定应为“或”，所以“xa且xb”的否定应为“xa或xb”答案：xa或xb9求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.解析：已知：A、B、C为ABC的三个内角求证：A、B、C中至少有一个不小于60.证明：假设ABC的三个内角A、B、C都小于60，即A60，B60，C60，三式相加得ABC0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有yaxi，xi(i1,2,3,4)，于是kAB，同理kBC，kCD，kDA.假设四边形ABCD是平行四边形，则kABkCD，kBCkDA，从而得y1y3，y2y4，进而得x1x3
5、，x2x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾故四边形ABCD不可能是平行四边形B组能力提升1在数列11,111,1 111，中()A有完全平方数 B没有完全平方数C有偶数 D没有3的倍数解析：显然没有偶数，有3的倍数，故C、D错误，假设有完全平方数，它必为奇数的平方，设111m个1(2n1)2(m，n为正整数)，则1110(m1)个14n(n1)，两边同除以2得，555(m1)个52n(n1)，此式左端为奇数，右端为偶数，矛盾答案：B2如果两个数之和为正数，则这两数_解析：假设两个都为负数，则这两个数之和为负数与题设矛盾两个数均为正数明显符合题意
6、，若一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值，也符合题意答案：至少有一个是正数3如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则A1B1C1为_三角形，A2B2C2为_三角形(填“锐角”或“钝角”)解析：由已知A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1为锐角三角形，则由题意，知A2B2C2为锐角三角形或钝角三角形假设A2B2C2是锐角三角形，由得所以A2B2C2与A2B2C2矛盾，所以A2B2C2是钝角三角形答案：锐角钝角4a、bR，用反证法证明a2ab与b2ab中至少有一个因式为非负数证明：假设a2ab与b2ab都是负数，即a2ab0，b2ab0，则a2abb2ab0，即a22abb20，也就是(ab)2x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上是增函数，得ff(x0)f(x0)，又ff(x0)x0，所以x0f(x0)，与假设矛盾；若x0f(x0)1，则f(x0)ff(x0)，又ff(x0)x0，所以f(x0)x0，也与假设矛盾综上所述，当x01，f(x0)1且ff(x0)x0时，有f(x0)x0.
