1、浙江省台州市五校2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，需将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答写在本试题卷上无效.选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. 若，则
2、存在实数使得D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的加减法则，向量的定义及向量共线定理依次判断各选项即可.【详解】一个向量减去另一个向量可以变为一个向量加上另一个向量的反向量，所以A正确；，当夹角为钝角时，所以B错误；，时，则不存在实数使得，故C错误;当，故D错误.故选：A【点睛】本题考查向量的加减法法则，考查向量模的性质，考查向量共线定理，属于基础题.2.在中，若，则角C等于（ ）A. 30B. 45C. 90D. 120【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形大边对大角的特点可求得，由三角形内角和为可求得.【详解】由正弦定理得：，.故选：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形问题，涉及
3、到三角形大边对大角和内角和的应用，属于基础题.3.已知，且，其中为坐标原点，则点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的减法法则与加法法则可得出，可求得向量的坐标，即为点的坐标.【详解】，因此，点的坐标为.故选：B.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求点的坐标，考查平面向量线性运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.4.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取特殊值排除得到答案.【详解】取，计算知不成立，排除A选项；取，计算知不成立，排除B选项；取，计算知不成立，排除C选项；当时，故.故选：D.【点睛】本题考查
4、了不等式性质，取特殊值排除是解题关键.5.已知为等差数列的前n项和，若，则k的值为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】B【解析】【分析】利用等差数列求和公式结合等差数列性质解答即可.【详解】，故，.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列求和，等差数列性质，意在考查学生对于等差数列公式性质的灵活运用.6.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a，b，c依次成等比数列，则是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式以及余弦定理求出，再利用余弦定理即可求解.【详解】设等比数列的公比为
5、，则，整理可得，解得或.当时，三边长度为，角最大，所以是钝角三角形，当时，三边长度为，角最大，所以是钝角三角形，故选：C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、余弦定理判断三角形的形状，考查了计算能力，属于基础题.7.已知单调递增数列满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】变换得到数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，故只需满足即可，计算得到答案.【详解】，时，两式相减得到，故数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列，故只需满足即可，即，解得.故选：C.【点睛】本题考查了根据数列的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知为公比不等于1
6、的等比数列的前n项和，若，依次成等差，则下列三个数一定成等差数列的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，若，依次成等差，得，所以有，即，有等比数列的前项和公式，对选项进行逐一判断.【详解】设等比数列的公比为若，依次成等差，得所以有，即选项A. 所以，即成等差数列，则A正确.选项B. ,则B不正确.选项C. 因为，所以,则C.不正确.选项D. 所以，则D.不正确.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的应用，等比数列的前项和公式的应用，等差数列的判断，属于中档题.9.已知且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知
7、条件推导出，再由得出，由得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】，则，则，由得，则，即，即，又，因此，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查代数式取值范围的求解，考查不等式基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10.在正项数列中，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】通过取，来判断A，B的正误；先证明，再利用二次函数的性质判断C，D的正误.【详解】当时，因为，所以数列为：1，11，1，11，故A错误；当时，因为，所以数列为：9，5，9，5，9，故B错误；当时，假设当时，则当时，即，因为 ，所以，综上：，所以，因为，所
8、以，故C错误，D正确.故选：D【点睛】本题主要考查数列的函数特性，数学归纳法的应用，还考查了分析问题，运算求解的能力，属于中档题.非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分.11.设等差数列的公差为非零常数d，且，若，成等比数列，则公差_；数列的前50项和_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】首选根据等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d，然后再利用裂项求和法求出数列的前50项和.【详解】由等差数列的公差为非零常数d，成等比数列，可得，即，整理可得，又，解得，所以，所以，所以.故答案为：2；【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项的
9、应用、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.12.已知，若，则_；若，则_.【答案】 (1). 1 (2). 2或【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示以及向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由，若，则，解得，若，则，解得或.故答案为：1；2或【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示、向量坐标的线性运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.13.已知是等差数列的前n项和，则_；记为数列的前n项和，则_.【答案】 (1). 84 (2). 51【解析】【分析】利用等差数列的前n项和性质：，成等差数列可求，利用等差数列的前n项和公式可求.【详解】由题意可得，成等差数列，所以因为，则，
10、解得.由，解得，所以，所以，故答案为：84；51【点睛】本题考查了等差数列的前n项和性质、等差数列的前n项和公式，需熟记公式，属于基础题.14.如图所示，矩形满足，点是以为圆心且与直线相切的圆上的任意一点，设，则的取值范围是_；的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得圆的方程为，设点，将、表示为以的三角函数，利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可求得和的取值范围.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，直线的方程为，即，圆的半径为，所以，圆的方程为，设点，即，所以，可得
11、，所以，其中为锐角，且，其中为锐角，且.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积与参数的取值范围的计算，在涉及圆上一点相关的取值范围问题，可利用圆的参数方程结合正弦函数有界性来求解，考查计算能力，属于中等题.15.已知a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，再利用面积公式计算得到答案.【详解】，整理得到，故，即，故，故为等边三角形，.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.若实数且，则的最小值为_.【答案】2【解析】【分析】根据两点间的距离公式的几何意义
12、可知，表示点到点的距离，点在直线上，点在曲线上，通过平移法，设曲线的切线方程，联立切线方程和曲线方程，通过求出，可求出切线方程，最后利用两平行线间的距离公式，求出两平行直线与的距离，即可得出的最小值，从而得出所求.【详解】解：由于表示点到点的距离，而点在直线上，点在曲线上，将直线平移到与曲线相切，设切线为，所以的最小值，即为两平行线间的距离，切线方程和曲线方程联立，即，得，则，解得：，当时，切线方程为：，即，所以两平行直线与的距离为：，则的最小值为，所以的最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查利用两点间距离的几何意义求最值，考查两点间的距离公式以及两平行线间的距离公式的应用，还涉及两平行线
13、的斜率关系和一元二次方程根的判别式，考查转化思想和运算能力.17.在平面四边形中，点M、N分别是边、的中点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的运算律可将所求数量积化为；根据的极限情况，即重合和重合，得到极限值，代入可得取值范围.【详解】，中点，.考虑的极限情况：当重合时，由正弦定理得：；当重合时，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围的求解，解题关键是能够利用平面向量线性运算和数量积的运算律将所求数量积化为关于长度的范围的求解问题；难点是能够通过极限状态求得的取值范围.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演
14、算步骤.18.已知，.（1）求；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用向量的坐标运算公式计算，然后再求出即可；（2）可变形为，故可结合基本不等式，利用“乘1法”求出最值.【详解】（1），；（2），当且仅当，即时等号成立，的最小值为.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了向量结合基本不等式求最值，属于中档题.在应用基本不等式求最值时，要注意遵循“一正二定三相等”原则.19.如图，在平面四边形中，与交于点M，.（1）求的值；（2）求的长.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）通过直角三角形中锐角三角函数值得定义转化即可求得答案；（2）由求得，进而求得，在
15、中由正弦定理求得，然后在中，由余弦定理求得即可.【详解】解：（1）在中，由已知可得，.（2）在中，.在中，由正弦定理得：，.在中，由余弦定理得：.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查学生对公式的掌握程度以及计算能力，属于中档题.20.已知等比数列的公比为，其前项和为，若，令，.（1）求、；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）时，；时，；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得出关于和的方程组，即可解得、的值；（2）根据得出的值，可求得数列的通项公式，计算得出数列的前项的值，可得出的前项的值，并推导出当且时，利用分组求和法可得出数列的前项和，综合可得出的表达式.【详解】（1）
16、因为数列公比为等比数列，.，解得或.当时，；当时，；（2），.，.当时，则，则.综上所述，.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了分组求和法，考查计算能力，属于中等题.21.已知a，b，c是的内角A，B，C的对边，D为线段上一点且.（1）求；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，利用正弦定理化简得到 ，然后用余弦定理求解.（2）由D为线段上一点，且，得到，然后两边平方化简可得，再根据，利用基本不等式求解.【详解】（1）因为.由正弦定理得：，.（2）因为D为线段上一点，且，所以，所以，.因为，因为，（当且仅当时取等号）.所以：，即，所以：，故：的最大值
17、为.【点睛】本题主要考查正弦定理，平面向量共线定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22.若数列满足，且，令，.（1）求证数列等比数列并求；（2）求数列的前n项和；（3）求证：.【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由可得，两式相减得，可得为等比数列，进一步可求得.（2）由利用分组求和和错位相减法求和可得答案.（3）由可得，所以从而可证明不等式的又边，又，可得，从而可证明不等式的左边.【详解】（1）证明：，-得：，即：即：. 当时，而，故，数列为等比数列，（2）令，两式相减得：，.，.（3）当，当时，. ，当时，当时，且故：不等式成立.【点睛】本题考查根据与的递推关系求证明数列为等比数列，考查分组法和错位相减法求和，考查利用方程法证明不等式，属于中档题.
