1、课时素养评价九导数在实际生活中的应用 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),当银行获得最大收益时,则存款利率此时应为()A.0.048B.0.024C.0.012D.0.006【解析】选B.由题意知,存款量g(x)=kx(k0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x(0,0.048).设银行可获得收益为y,则y=0.048kx-kx2.于是y=0.048k-2kx,令y=0,解得x=0.
2、024.依题意知,y在x=0.024处取得最大值.故当存款利率为0.024时,银行可获得最大收益.2.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元 B.60元C.28 000元D.23 000元【解析】选D.设毛利润为L(p),由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以,L(p)=-3p2-300p+11 700
3、.令L(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23 000.因为在p=30附近的左侧L(p)0,右侧L(p)0),为使利润最大,应生产的台数为()A.36千台B.24千台C.12千台D.6千台【解析】选D.利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x0),求导得y=36x-6x2,令y=0,得x=6或x=0(舍去).经过分析知当x=6时,y取最大值.4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则其高应为()A.cmB.100 cmC.20 cmD.cm【解析】选A.设高为x cm,则底面半径为 cm,所以圆锥体积V=(400-
4、x2)x=,V=,令V=0,得x=或x=(舍去),经判断可得x=时,V最大.5.已知球O的半径为R,圆柱内接于球,当内接圆柱的体积最大时,高等于()A.RB.RC.RD.R【解析】选A.设球内接圆柱的高为h,圆柱底面半径为r,则h2+(2r)2=(2R)2,得r2=R2-h2(0h2R).所以圆柱的体积为V(h)=r2h=h=R2h-h3(0h2R).求导数,得V(h)=R2-h2=,所以0h0;h2R时,V(h)0,由此可得:V(h)在区间上是增函数;在区间上是减函数,所以当h=时,V(h)取得最大值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如
5、果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库存费40元,并假设该书均匀投放市场,则此书店分_次进货、每次进_册,可使所付的手续费与库存费之和最少.【解析】设每次进书x千册(0x150),手续费与库存费之和为y元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有y=30+40,y=-+20=,所以当0x15时y0,当15x0.故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为=10(次).即该书店分10次进货,每次进15 000册书,所付手续费与库存费之和最少.答案:1015 0007.把一个周长为12 cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为_.【解析
6、】设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=x=(x3-12x2+36x)(0x6),V=(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长高=42=21.答案:218.某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0t30,tZ)的关系大致满足f(t)=t2+10t+12,则该超市前t天平均售出如前10天的平均售出为的月饼最少为_个.【解析】记g(t)=t+10(00,得2t30且tZ,令g(t)0,得0t2,且tZ,所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,30上单调递增,又tZ,且g(3)=g(4)=17,所以g(t)的最小值为17,即该超市前t
7、天平均售出的月饼最少为17个.答案:17三、解答题(每小题10分,共20分)9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?【解析】(1)由PO1=2 mOO1=8 m,则=PO1=622=24(m3),=SABCDOO1=628=288(m3),V=+=312 m3,故仓库的容积为312 m3.(2)设PO1=x
8、 m,仓库的容积为V(x),连结A1O1,则OO1=4x m,A1O1= m,A1B1= m,=PO1=x=m3,=SABCDOO1=4x=(288x-8x3)m3.V(x)=+=+(288x-8x3)=m3(0x6),所以V(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0x0,V(x)单调递增,当x(2,6)时.V(x)0,V(x)单调递减,因此,当x=2时,V(x)取到最大值,即PO1=2 m时,仓库的容积最大.10.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用
9、C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.【解析】(1)由题设,每年能源消耗费用为C(x)=(0x10),再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=.而建造费用为C1(x)=6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20+6x=+6x(0x10).(2)f(x)=6-,令f(x)=0,即=6,解得x=5,x=-(舍去).当0
10、x5时,f(x)0,当5x0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=65+=70.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元. (20分钟40分)1.(5分)甲工厂八年来某种产品年产量y与时间x(单位:年)的函数关系如图所示:现有下列四种说法:前四年该产品产量增长速度越来越快;前四年该产品产量增长速度越来越慢;第四年后该产品停止生产;第四年后该产品年产量保持不变.其中说法正确的为()A.B.C.D.【解析】选B.增长速度是产量对时间的导数,即图象中切线的斜率.由图象可知,是正确的.2.(5分)(多选题)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,价格p与
11、产量q的函数关系式为p=25-q,下列说法正确的是()A.当q=21时利润最大B.当q=84时利润最大C.利润最大值为782D.利润最大值为186【解析】选BC.方法一:收入R=qp=q=25q-q2,所以利润L=R-C=-(100+4q)=-q2+21q-100(0q200).所以L=-q+21.令L=0,即-q+21=0,解得q=84.因为当0q0;当84q200时,L0.所以当q=84时,L取得最大值.Lmax=-842+2184-100=782,故产量为84时,利润L最大,最大利润为782.方法二:(同方法一)L=-q2+21q-100=-(q2-168q+842)+-100=-(q-
12、84)2+782,所以当q=84时,L取得最大值782.即产量为84时,利润L最大,最大利润为782.3.(5分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,此时x=_.【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h=(30-x),0x30.S=4ah=8x(30-x)=-8(x
13、-15)2+1 800,所以当x=15时,S取得最大值.答案:154.(5分)统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8,x(0,120,且甲、乙两地相距100 km,则当汽车以_km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.【解析】当速度为x km/h时,汽车从甲地到乙地行驶了 h,设耗油量为h(x)L,依题意得h(x)=x2+-(0x120),h(x)=-=(0x120).令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25
14、.故当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少为11.25 L.答案:80【补偿训练】 一火车锅炉每小时消耗的煤费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少?【解析】设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)=(kx3+200)=a.由已知条件,得40=k203,所以k=,所以f(x)=a.令f(x)=0,得x=10,当0x10时,f(x)0;当10x0.所以当x=10时,f(x)有最小值,即速度
15、为10km/h时,火车从甲城开往乙城的总费用最少.5.(10分)在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台,看台,三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台,看台是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台的面积是看台的面积的3倍.矩形表演台BCDE中,CD=10米,三角形水域ABC的面积为400平方米.设BAC=.(1)求BC的长(用含的式子表示).(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.【思路导引】本题主要考查了余弦定理及导数的知识.(1)根据看台的面积比得出AB,AC的关系,根据ABC的面积求出AB,AC,再利用余弦定理计算BC.(2)根据(1
16、)得出造价关于的函数,利用导数判断函数的单调性,进而求出最低造价.【解析】(1)由于看台的面积是看台的面积的3倍,所以AB=AC.在ABC中,SABC=ABACsin =400,所以AC2=.由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2ABACcos =4AC2-2AC2cos =(4-2cos ),即BC=40.所以BC=40,(0,).(2)设表演台的总造价为W万元.因为CD=10 m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W=3BC=120,(0,),设f()=,(0,),则f()=.令f()=0,解得=.当时,f()0.故f()在上单调递减,在上单调递增,所以当=时,f()取得最小值,最
17、小值为f=1.所以Wmin=120(万元).即表演台的最低造价为120万元.6.(10分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2020年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例.如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2020年生产化妆品的固定投资为3万元,每生产1万件化妆品需要再投资32万元,当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时,当年的产销平衡.(1)将2020年的年利润y万元表示为促销费用t万元的函数;(2)该企业2020年的促销费用投入多少万元时,企
18、业的年利润最大(注:利润=收入-生产成本-促销费用)?【解析】(1)由题意得3-x=(k0),将t=0,x=1代入得k=2,所以x=3-.又由题意知每件化妆品的售价为+.所以年利润y=x-(3+32x)-t=16x-t+=16-t+=50-=-+(t0).(2)y=-+,令y=0,解得t=7或t=-9(舍去).当0t0;t7时,y1.所以f(x)1恒成立.设g(x)=4lg x-2-,则g(x)=-.当x10时,g(x)=-=0,所以g(x)在10,1 000上是减函数,从而g(x)g(10)=4lg10-2-2=0.所以4lg x-2-0,即4lg x-2,所以f(x)恒成立.故该函数模型符合公司要求.