1、2020-2021学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学普通班高一（下）第一次阶段数学试卷一、选择题（每小题5分）.1已知向量（1，k），（k，2），若与方向相同，则k等于（）A1BCD2设是任意向量，则下列结论一定正确的是（）ABCD3如图，已知点C为OAB边AB上一点，且AC2CB，若存在实数m，n，使得，则mn的值为（）AB0CD4体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g10m/s2，1.732）A64B70C76D60
2、5已知向量，满足|2，（1，1），2，则cos，（）ABCD6数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S，现有周长为5+的ABC满足sinC：sinA：sinB2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD37已知，若点P是ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（
3、）A13BCD8在平行四边形ABCD中，AB，AD2，A135，E，F分别是AB，AD上的点，且，（其中，（0，1），且4+1若线段EF的中点为M，则当|取最小值时，的值为（）A36B37C38D39二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分本题共4小题，每小题5分，共20分）9下列说法正确的是（）A对于任意两个向量，若|，且与同向，则B已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为C设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D若，则与的夹角是钝角10对于ABC，有如下命题，其中错误的是（）A若sin2A+sin2B+cos
4、2C1，则ABC为锐角三角形B若AB，AC1，B30，则ABC的面积为CP在ABC所在平面内，若，则P是ABC的重心D若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形11在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，a7，则以下判断正确的是（）AABC的外接圆面积是BbcosC+ccosB7Cb+c可能等于16D作A关于BC的对称点A，则AA的最大值是12在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC3b2，则下列选项正确的是（）A2（a2+b2）c2BtanA3tanBCDtanC存在最大值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13复数5+2i与2+
5、4i分别表示向量与，则表示向量的复数的模为 14已知点A、B、C满足，则的值是 15已知A，B，C，D是平面内四点，且，则的最小值为 16已知向量、满足|1，|2，则|+|+|的最小值是 ，最大值是 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共6小题，共70分）17已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围18在ABC中，B45，（1）求BC边的长；（2）求AB边上的中线CD的长19已知，其中0（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（k为非零的常数）20ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c
6、已知asinbsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围21目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37，测得基站顶端A的仰角为45（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MDxm，且记在M处观测基站底部
7、B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为试问当x多大时，观测基站的视角AMB最大？参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7sin1270.822在直角梯形ABCD中，已知ABCD，DAB90，AB4，ADCD2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OMBD（1）求的值；（2）若N为线段AC上任意一点，求的最小值参考答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本题共8小题，每小题5分，共40分）1已知向量（1，k），（k，2），若与方向相同，则k等于（）A1BCD解：向量（1，k），（k，2），若与方向相同，则，解得k故选：D2设是任意向量，则下列
8、结论一定正确的是（）ABCD解：因为向量的数量积是数量，所以A不正确；是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，所以B不正确因为，所以C不正确，向量的数量积满足乘法的运算法则，所以D正确故选：D3如图，已知点C为OAB边AB上一点，且AC2CB，若存在实数m，n，使得，则mn的值为（）AB0CD解：因为AC2CB，易得，所以mn故选：A4体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为370N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g10m/s2，1.732）A64B70
9、C76D60解：由题意知，370N，夹角60，所以+，即（+）；所以3702+2370370cos60+370233702；|370（N），则该学生的体重（单位：kg）约为37371.73264（kg）故选：A5已知向量，满足|2，（1，1），2，则cos，（）ABCD解：cos，故选：C6数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之
10、，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S，现有周长为5+的ABC满足sinC：sinA：sinB2：3：，则用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD3解：周长为5+的ABC满足sinC：sinA：sinB2：3：，利用正弦定理整理得：c：a：b2：3：，令，所以c2k，a3k，b，利用a+b+c2k+3k+k5+，解得k1，故c2，b3，b故故选：A7已知，若点P是ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（）A13BCD解：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）则B（t，0），C（0，）（t0），所以，即P（1，2），故，所以，当且仅当即时等号成立故选：
11、B8在平行四边形ABCD中，AB，AD2，A135，E，F分别是AB，AD上的点，且，（其中，（0，1），且4+1若线段EF的中点为M，则当|取最小值时，的值为（）A36B37C38D39解：根据题意，建立如图直角坐标系，AB，AD2，A135，所以B（1.1），D（2，0），C（1，1），由（1，1）（，），得E（，），由（2，0）（2，0），得F（2，0），所以M（，），CM2，当时，取到最小值，此时，故的最小值为37，故选：B二、选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分本题共4小题，每小题5分，共20分）9下列说法正确的是（）A
12、对于任意两个向量，若|，且与同向，则B已知，为单位向量，若，则在上的投影向量为C设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件D若，则与的夹角是钝角解：对于任意两个向量，若|，且与同向，但是不能说，因为向量不能比较大小，所以A不正确；已知，为单位向量，若，则在上的投影为：3，投影向量为，所以B正确；存在负数，使得，则与反向共线，夹角为180，此时成立，当成立时，则与夹角满足90180，则与不一定反向共线，即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故C正确，若，则与的夹角是钝角或平角，所以D不正确；故选：BC10对于ABC，有如下命题，其中错误的是（）A若sin2A+sin2B
13、+cos2C1，则ABC为锐角三角形B若AB，AC1，B30，则ABC的面积为CP在ABC所在平面内，若，则P是ABC的重心D若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形解：对于A：sin2A+sin2B+cos2C1，整理得：sin2A+sin2B1cos2Csin2C，即sin2A+sin2Bsin2C0，根据正弦定理：a2+b2c20，故，则ABC为钝角三角形故A错误；对于B：若AB，AC1，B30，设BCx，则利用余弦定理：，解得x1或2，即BC1或2，当BC1时，当BC2时，故B错误；对于C：P在ABC所在平面内，若，则P是ABC的重心，故C正确；对于D：若sin2Asin2B，所以
14、：2A2B，整理得：AB，或2A2B，整理得A+B，则ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误故选：ABD11在ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知，a7，则以下判断正确的是（）AABC的外接圆面积是BbcosC+ccosB7Cb+c可能等于16D作A关于BC的对称点A，则AA的最大值是解：对于A，在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，a7，由2R，可得R，可得ABC的外接圆的面积是R2，故正确；对于B，bcosC+ccosBb+ca7，故正确；对于C，b+c2R（sinB+sinC）sin（）+sin（+）2sincos14cos，（），可得b+c（7，14，b+c
15、不可能等于16，故错误；对于D，作A关于BC的对称点A，设A到BC的距离为h，可得ahbcsin，即有hbc，由a2b2+c22bccosb2+c2bc2bcbc，即bc49，当且仅当bc取得等号，可得h，则|AA|的最大值是7故错误故选：AB12在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2+2abcosC3b2，则下列选项正确的是（）A2（a2+b2）c2BtanA3tanBCDtanC存在最大值解：a2+2abcosC3b2，由余弦定理可得：2a22b2+c2，可得2（a2b2）c2，故A错误，2sin2A2sin2B+sin2C，1cos2A1cos2B+sin2C，2
16、sin（B+A）sin（BA）sin2C，2sin（AB）sinCsin（A+B），2sinAcosB2cosAsinBsinAcosB+cosAsinB，sinAcosB3cosAsinB，锐角ABC中可得：tanA3tanB，故B正确，则必有tanB否则C为钝角tanCtanAtanBtanC，tanB，故C正确，令tanAx，则tanB3x，则tanCtan（A+B），令f（x），x（，+），f（x），可知f（x）在x（，+）恒小于0，所以f（x）在x（，+）单调递减，f（x）没有最大值，即tanC不存在最大值，故D错误故选：BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13复数5
17、+2i与2+4i分别表示向量与，则表示向量的复数的模为解：由题意得5+2i，2+4i，则5+2i+24i72i，故|故答案为：14已知点A、B、C满足，则的值是25解：故答案为2515已知A，B，C，D是平面内四点，且，则的最小值为解：设，则（x+1，y+2），所以（x+1）（x2）+（y+2）2，故当时，取得最小值故答案为：16已知向量、满足|1，|2，则|+|+|的最小值是4，最大值是解：记AOB，则0，如图，由余弦定理可得：|+|，|，令x，y，则x2+y210（x、y1），其图象为一段圆弧MN，如图，令zx+y，则yx+z，则直线yx+z过M、N时z最小为zmin1+33+14，当直线
18、yx+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以zmax综上所述，|+|+|的最小值是4，最大值是故答案为：4、四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题共6小题，共70分）17已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围解：（1）复数z是纯虚数，则且m22m150m3，（2）z对应复平面上的点在第四象限，则且m22m1503m5，所以m的取值范围为（3，5）18在ABC中，B45，（1）求BC边的长；（2）求AB边上的中线CD的长解：（1）
19、由，得，由正弦定理，得，（2）由正弦定理，得，由余弦定理，得19已知，其中0（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（k为非零的常数）解：（1）由已知得：，则：，因此：，因此，向量与所成的夹角为90；（2），（kcos+cos）2+（ksin+sin）2（coskcos）2+（sinksin）2，k2cos2+cos2+2kcoscos+k2sin2+sin2+2ksinsincos2+k2cos22kcoscos+sin2+k2sin22ksinsin，整理得，2kcos（）2kcos（），且k0，cos（）0，0，0，20ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c已知asin
20、bsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：（1）asinbsinA，即为asinacosbsinA，可得sinAcossinBsinA2sincossinA，sinA0，cos2sincos，若cos0，可得B（2k+1），kZ不成立，sin，由0B，可得B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，由余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2，且1+a2a2a+1，解得a2，可得ABC面积Sasina（，）21目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影、如图1，某
21、同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB50m，该同学眼高1.5m（眼睛到水平面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37，测得基站顶端A的仰角为45（1）求出山高BE（结果保留整数）；（2）如图2，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离MDxm，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为试问当x多大时，观测基站的视角AMB最大？参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7sin1270.8解：（1）由题知ACB8，BAC45，在AB
22、C中，由正弦定理得，即，所以，在RtBDC中，即，所以BD2500.6150，所以山高BEBD+DE150+1.5151.5152m（2）由题知AMD，BMD，则在RtBMD中，在RtAMD中，由题知AMB，则当且仅当即m时，tanACB取得最大值，即视角最大说明：x近似为整数173m也可22在直角梯形ABCD中，已知ABCD，DAB90，AB4，ADCD2，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OMBD（1）求的值；（2）若N为线段AC上任意一点，求的最小值解：方法一（1）在梯形ABCD中，因为ABCD，AB2CD，所以AO2OC，；（2）令，则，即，令，则，所以当时，有最小值方法二（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；则A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2）；则，由相似三角形易得设M（，0），则，得则，（2）设N（a，a），显然0a2，所以当时，有最小值