1、一、函数的定义域、值域的综合应用例1已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足条件f(x5)f(x3)，f(2)0，且方程f(x)x有两个相等的实根，问是否存在实数m，n(mn)，使得f(x)的定义域为m，n时，值域为3m，3n？如果存在，求m，n的值；如果不存在，请说明理由分析：主要考查二次函数的定义域、值域及与方程的结合解析：f(x5)f(x3)，f(x)的图象的对称轴为直线x1，即1.又f(2)0，即4a2bc0，又方程f(x)x有两个相等实根，即ax2(b1)xc0有两个相等的实根，(b1)24ac0.由可得：a，b1，c0.则f(x)x2x(x1)2.故3n，即n.f(x)在m，n
2、上单调递增，假设存在满足条件的m，n，则：解得m0或m4，n0或n4.又mn，m4，n0.即存在m4，n0满足条件点评：求二次函数的值域一般采用配方法，结合其图象的对称性解决定义域和值域共存问题时，不要盲目进行分类讨论，而应从条件出发，分析和探讨出解决问题的途径，确定函数的单调性，从而使问题得以解决变式训练1若函数f(x)的定义域和值域都是a，b，则称a，b为f(x)的保值区间，求函数f(x)(x1)21的保值区间解析：当ab1时，f(x)递减，即无解；当a1时，定义域里有1，而值域里没有1，不可能；当1a0时，f(x)1，对任意a，bR均有f(ab)f(a)f(b)(1)求证：f(0)1；(
3、2)求证：对任意xR，恒有f(x)0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围(1)证明：令ab0，得f(0)f2(0)，又f(0)0，f(0)1.(2)证明：当x0，f(0)f(x)f(x)1.f(x)0.又x0时，f(x)10，对任意xR，恒有f(x)0.(3)证明：设x10，f(x2)f(x2x1)x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x1)f(x)是R上的增函数(4)解析：由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)，又f(x)为增函数
4、，3xx200x3.故x的取值范围是(0，3)三、二次函数的综合问题例3已知二次函数f(x)ax2bxc，对于x1，x2R，且x1x2，f(x1)f(x2)求证：方程f(x)f(x1)f(x2)有不等的两实根，且必有一个实根属于(x1，x2)分析：证明方程有两实根考虑使用判别式，有一根在(x1，x2)可用函数零点的性质证明：由ax2bxc(axbx1caxbx2c)得2ax22bxa(xx)b(x1x2)0.由a0，故此方程判别式(2b)242aa(xx)b(x1x2) 2(2ax1b)22(2ax2b)20.x1x2，2ax1b2ax2b.0.方程f(x)f(x1)f(x2)有不等的两实根令
5、g(x)f(x)f(x1)f(x2)，g(x)是二次函数，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0的根必有一个属于(x1，x2)点评：二次函数f(x)ax2bxc的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，才能用函数思想来研究方程和不等式变式训练3设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2)，且其图象在y轴上截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式解析：设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x2)f(x2)得对称轴
6、方程为x2，2. 由f(0)1得c1.由在x轴上截得线段长为得|x2x1|.联立可解得a，b，c1.故f(x)x2x1四、数形结合与分类讨论的应用例4对于函数f(x)x2axa1，存在x00，1，使f(x0)0，求a的取值范围分析：(1)含参数的二次函数在指定区间上的函数值问题，通常先配方，再分情况进行讨论(2)由转化思想可知：f(x)0等价于x21a(x1)由数形结合可得出结果解析：方法一f(x)的对称轴为：x，则：f(x)a1.(1)当01，即2a0时，f(x0)fa10，解得a22或a22，与2a0矛盾(2)当1，即a2时，f(x0)f(1)a1a12不可能小于0.(3)当0，即a0时，
7、f(x0)f(0)a10，解得a1.综上：a1.方法二由f(x)0x21a(x1)，令y1x21，y2a(x1)，作出函数y1，y2的图象，在x0，1上，当y2过点(0，1)及(1，2)时为极限位置由下图知：a1，a1.点评：数形结合法解函数问题是将图象与数量紧密结合，这样做有助于理解题意，探求解题思路，检验结果分类讨论法是对含参数或变量问题进行分类讨论原则是不重复、不遗漏，逐类进行，但必须综合讨论结果，使步骤完整变式训练4已知a0且a1，f(x)x2ax，当x(1，1)时，均有f(x)，则实数a的取值范围是(C)A.2，)B.(1，4)C.(1，2 D.4，)解析：不等式x2axx(1，1)
8、恒成立，当x(1，1)时，图象yax在yx2的上方当a1时，a1(1)21a2；当0a1时，a112a1.综上可知：a1或1a2.五、转化与化归思想的应用若函数ya2x2ax1(a0且a1)在区间1，1上的最大值是14，求a的值分析：经换元将函数转化为：f(t)t22t1.转化后应特别注意t的取值范围，以保证转化的等价性ax的取值范围又与它的单调性有关解析：设tax，则yf(t)t22t1(t1)22.当a1时，t，ymaxf(a)a22a114.解得：a3.当0a1时，t，ymaxf2114，解得：a.故所求a的取值为3或.点评：指数函数与二次函数复合而成的初等函数，可以通过换元的方法转化为指数函数或二次函数变式训练5若3logx，求函数f(x)的最小值解析：由3logxlog2x3log22.f(x) 2alog2a2.令tlog2，则函数转化为g(t)(ta)2a2，t.当a2时，g(t)min g(2)44a.
