1、第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线x25y25的焦距为(B)AB2C2D4解析双曲线方程化为标准方程为y21，a25，b21，c2a2b26，c.焦距为2c2.2顶点在原点，且过点(4,4)的抛物线的标准方程是(C)Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y解析抛物线过点(4,4)，设其方程为：y22px或x22py(p0)，将(4,4)代入可得p2，抛物线方程为y24x或x24y.3若椭圆1(m0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m的值为(D)
2、A5B3C2D2解析由题意得9m21，m28，又m0，m2.4(2018全国文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为(D)A1B2CD1解析在RtPF1F2中，PF2F160，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，由椭圆的定义可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以离心率e1.故选D5已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(C)ABCD解析由条件知，a259，a24，e.6已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y
3、3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有(C)A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|解析由2x2x1x3，知2，由抛物线定义知2|FP2|FP1|FP3|，故选C7将双曲线1(a0，b0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形”，则双曲线C：x2y216的“黄金三角形”的面积是(B)A44B88C4D8解析由x2y216，得1，则a2b216，所以a4，b4，c4，则双曲线C的右焦点、右顶点的坐标分别为(4，0)，(4,0)，不妨设虚轴的一个端点为(0,4)，则所求“黄金三角
4、形”的面积S(44)488.故选B8已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|(B)A3B6C9D12解析如图：抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆E的右焦点为(2,0)，c2，a4，b2a2c212.抛物线的准线为x2，|AB|6.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9椭圆1的焦距是2，则m的值是(AC)A5B8C3D20解析2c2，c1，故有m41或4m1，m5或m3，故选AC10已知抛物线y2
5、2px(p0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是(AC)Ax1x2BC若直线l的倾斜角为，则3D若直线的倾斜角为，则|AB|4p解析抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为x，当斜率不存在时，则过焦点的直线的方程为x，则A，B，此时x1x2，故B错误；当斜率存在时，设过焦点的直线方程为yk，联立直线与抛物线方程得消元得k2x2(k2p2p)x0.由韦达定理可得x1x2，x1x2，故A正确；若直线的倾斜角为，则k，x1x27p，|AB|x1x2p8p，故D错误；如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BE
6、AM，垂足为E，设|AF|m，|BF|n，则由抛物线的定义得|AM|AF|m，|BN|BF|n，|AB|mn，|AE|mn，若直线l的倾斜角为，则ABE，于是，解得m3n，则3，故C正确；综上，正确的有AC11已知双曲线x21，则(ACD)A双曲线的离心率与半焦距的长在数值上相等B双曲线y21与已知双曲线有相同的渐近线C直线x被双曲线截得的线段长度为8D直线ykxb(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2解析双曲线x21的焦点在x轴上，且a1，b2，c，渐近线为y2x.对于A选项，双曲线的离心率为c，所以A选项正确对于B选项，双曲线y21的渐近线为yx，与原双曲线的渐近线不相同，故
7、B选项错误对于C选项，把x代入双曲线方程，解得y4，所以线段的长度为8，故C选项正确对于D选项，直线ykxb与双曲线的公共点个数可能为0,1,2，故D选项正确12已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则下面四个选项中正确的是(AC)AmnBm1De1e2n.e1，e2，e1e21.三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(2020广东河源市高二检测)抛物线x24y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为_2_.解析如图所示，F为抛物线x24y的焦点，直线y1为其准线，过点P作准线的
8、垂线，垂足为A且交x轴于点B|PF|3，|PA|3，|PB|2.点P的纵坐标为2.设P(a,2)(a0)则a242，a2，即P到y轴的距离为2.14已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_.解析AB2c4，c2.又ACCB5382a，a4.椭圆离心率为.15设F1，F2是双曲线1的两个焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离等于_17_.解析因为F1，F2是双曲线1的两个焦点，所以|PF1|PF2|2a8.因为|PF1|9，所以|PF2|1或|PF2|17，又ca642，所以|PF2|1舍去，所以|PF2|17.16
9、已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点下表给出坐标的五个点中，有两个点在C1上，另有两个点在C2上则椭圆C1的左焦点到C2的准线之间的距离为_1_.x1324y204解析将5个点的坐标代入计算得，即点(3，2)与(4，4)在抛物线上，且2p4，即抛物线方程为y24x.将剩余三点分别代入1中，两两联立计算可得(2,0)与在椭圆上且a24，b21，故椭圆方程为y21.故左焦点为(，0)所以抛物线的准线和椭圆左焦点的距离为1.四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)已知抛物线C：y22px(p0)的焦
10、点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|8，且OFM(O为坐标原点)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求AOB面积的最小值解析(1)由抛物线的定义，知点M到准线的距离为8，由|MF|p|MF|cos，得8p4，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(2,0)，由题意知直线l的斜率不为0，与抛物线C的方程联立，得y28ty160.可得y1y28t，y1y216.因为坐标原点O到直线l的距离d，|AB|y1y2|，所以SAOBd|AB|y1y2|8.当t0时，SAOB取到最小值8，故AOB面积的最小值为8.18(本
11、题满分12分)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值解析(1)求椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程为yxc，其中c，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组，消去y化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.19(本题满分12分)(2018全国文，2
12、0)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k.(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0，证明：2|.解析(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)证明：由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是| 2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.20(本题满分12分)已知双曲线的中心在坐标原
13、点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为yx，且双曲线过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的取值范围解析(1)设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点P(4，)，1610，即6，双曲线的方程为x2y26，即1.(2)由(1)可知，ab，c2，不妨设F1(2，0)，F2(2，0)，则(2x1，y1)，MF2(2x1，y1)x12y.点M(x1，y1)在双曲线上，x6y，2y6，y0，6，即的取值范围为6，)21(本题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左顶点为M(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过N(1,0)的直线AB交椭圆C于A，B两
14、点，当取得最大值时，求MAB的面积解析(1)由已知a2，得c，a2b22，即4b22，b22，椭圆C的方程为1.(2)当直线AB与x轴重合时，0.当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x12，y1)，(x22，y2)由，得(t22)y22ty30.显然0，y1y2，y1y2.(x12)(x22)y1y2(ty13)(ty23)y1y2(t21)y1y23t(y1y2)9(t21)3t999，的最大值为，此时t0，直线AB的方程为x1.综上可知，的最大值为.联立，不妨令A(1，)，B(1，)，|AB|，又|MN|3，SMAB|MN|AB|3
15、.22(本题满分12分)(2019北京文，19)已知椭圆C：1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：ykxt(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|2，求证：直线l经过定点解析(1)解：由题意，得b21，c1，所以a2b2c22.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为yx1.令y0，得点M的横坐标xM.又y1kx1t，从而|OM|xM|.同理，|ON|.由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|OM|ON|2.又|OM|ON|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点(0,0)
