1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为(C)A4B4 CD.2若椭圆1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是(B)A. B(0,1) C. D.解析：本题主要考查椭圆的基本概念由题意得3m0,2m10且2m13m，得0m0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)Ayx Byx Cyx Dyx解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算e21，.又a0，b0，C的渐近线方程为yx，故选C.4已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线
2、交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为(C)A.y21 B.1 C.1 D.1解析：如图，|AF2|AB|，|F1F2|2，由椭圆定义得|AF1|2a.在RtAF1F2中，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2222.由得a2，b2a2c23.椭圆C的方程为1，应选C.5已知双曲线y2x21的离心率为e，且抛物线y22px的焦点坐标为(e2,0)，则p的值为(D)A2 B4 C2 D4解析：由条件知，双曲线的离心率为e，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以2，所以p4.故选D.6如图，过抛物线y23x的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|
3、3，则|AB|(A)A4 B6 C8 D10解析：本题主要考查抛物线的定义如图，分别过点A，B作AA1，BB1垂直于准线l，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义得|BF|BB1|.|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130.又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，|BF|1，|AB|4，故选A.7过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则k的值为(C)A B. C D解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用由题意知点B的横坐标是c，故点B的坐标为，则
4、斜率k(1e)，故选C.8已知双曲线1(ab0)的两焦点间的线段F1F2正好被椭圆1(ab0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为(B)Ayx Byx Cyx Dyx解析：双曲线的焦距为2，椭圆的焦距为2，22，整理得4a25b2，则ab.代入双曲线的渐近线方程yx，得yx.9已知椭圆C1：y21(m1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(A)Amn，且e1e21 Bmn，且e1e21 Cm1 Dmn，且e1e2n.e1，e2，e1e21.10已知椭圆1的左、右顶点分别为A，B，在椭圆上有一个异于点A，B的动点P，若直线PA的斜率为k0，则直线P
5、B的斜率为(B)A. B Ck0 Dk0解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算由题设知A(2,0)，B(2,0)设P(x0，y0)(x02)，kPA，kPB.点P在椭圆上，1，y3，kPAkPB.kPAk0，kPB，故选B.11抛物线x26by的准线与双曲线1(a0，b0)的左、右支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若AOCBOC，则双曲线的离心率为(C)A. B3 C. D2解析：抛物线的准线为yb，B，C.易得AOCBOC60，kOCtan60.，e，故选C.12在焦点在x轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是3b2,4b2，则椭圆离心率的范围是(A)A. B.
6、 C. D.解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为ykx(假设k0)联立解得x2，y2.所以矩形ABCD的面积S4|xy|2ab，当且仅当k时取等号所以3b22ab4b2，解得.所以e.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p2.解析：双曲线x2y21的左焦点为(，0)，故抛物线y22px的准线为x，所以，解得p2.14已知双曲线1上一点P到F(3,0)的距离为6，O为坐标原点，若()，则|1或5.解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中
7、点表示由题意知点F(3,0)为双曲线的右焦点设双曲线1的左焦点为F1，由()，知Q为PF的中点连接PF1，则|.由|4，|6，得|2或10，故|1或5.15已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，A(a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若F到直线AB的距离等于，则椭圆的离心率为.解析：直线AB的方程为1，即bxayab0.设F(c,0)，则，即.因而|ac|.又b2a2c2，代入上式，并整理得8c214ac5a20，于是8e214e50，解得e或e(舍去)16设抛物线M：y22px(p0)的焦点F是双曲线N：1(a0，b0)的右焦点，若M与N的公共弦AB恰好过点F，则双曲线N的离心率e1.解析：
8、本题主要考查双曲线、抛物线的焦点抛物线M：y22px(p0)的焦点为F，双曲线N：1(a0，b0)的右焦点为F(c,0)，c.又公共弦AB恰好过点F，得AB为抛物线M的通径，AB2p，b22acc2a22ac，e22e10，e1或e1(舍去)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)椭圆的两个焦点F1，F2在x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，求椭圆的标准方程解：设椭圆方程为1(ab0)，焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为P(3,4)，c|OP|5.所求椭圆的方程为1.1
9、8(12分)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点(1)用p表示|AB|；(2)若3，求这个抛物线的方程解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x23px0，x1x23p，x1x2，|AB|x1x2p4p.(2)由(1)知x1x2，x1x23p，y1y2x1x2(x1x2)p2，x1x2y1y2p23，解得p24，p2.这个抛物线的方程为y24x.19(12分)设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)
10、求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|2，求k的值解：(1)过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知|PM|PN|，而y0，所以|PN|y，所以 y，化简得x22y(y0)为所求的方程(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x22kx20，所以x1x22k，x1x22，|AB|2，所以k43k240，而k20，所以k21，所以k1.20(12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取
11、值范围解：(1)x1x20，证明：点F在直线l上|FA|FB|A，B两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是x轴的平行线，上述条件等价于y1y2xx(x1x2)(x1x2)0，x1x2，当且仅当x1x20时，直线l经过抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y2xb.则过点A，B的直线方程可写为yxm，联立化简得2x2xm0，x1x2.A，B为抛物线上不同的两点，上述方程的判别式8m0，即m.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0，y0x0mm.又点N在直线l上，mb，于是bm，l在y轴上的截距的取值范围为.21(12分)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分
12、别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且20，过A，Q，F2三点的圆的半径为2.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由解：(1)因为20，所以F1为F2Q中点设Q的坐标为(3c,0)，因为AQAF2，所以b23cc3c2，a24cc4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1(c,0)，半径为2c，所以c1.所以a2.b.故所求椭圆方程为1.(2)存在设直线l
13、的方程为ykx2(k0)，与椭圆方程联立，消去y可得(34k2)x216kx40.设点G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2.所以(x1m，y1)(x2m，y2)(x1x22m，y1y2)(x1x22m，k(x1x2)4)又(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)，由于菱形对角线互相垂直，则()0，所以(x2x1)(x1x2)2mk(x2x1)k(x1x2)40.故(x2x1)(x1x2)2mk2(x1x2)4k0.因为k0，所以x2x10.所以(x1x2)2mk2(x1x2)4k0，即(1k2)(x1x2)4k2m0，所以(1k2)4k2m0，解得m，即m.由0，且k0，可得k.因为k，可以使4k，所以m0，得k2，所以x1x2，x1x2，因为SOAB|OD|x1x2|x1x2|，所以SOANB2SOAB2|x1x2|2228，令4k23t，则4k2t3(由上可知t0)，SOANB8882，当且仅当t4，即k2时取等号；所以当k，平行四边形OANB面积的最大值为2，此时直线l的方程为yx2.