1、浙江省嘉兴市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得，再求得，由此得出正确选项.【详解】依题意，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合补集、并集的运算，属于基础题.2.已知是虚数单位，则（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算求得，再求的模.【详解】依题意，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. 3D. -3【答案】B【解析】【分析】求得曲线在点处的切
2、线的斜率，根据切线与直线垂直列方程，由此求得的值.【详解】依题意，由于曲线在点处的切线与直线垂直，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.4.函数，则满足，且为整数的实数的个数为（ ）A. 3B. 4C. 17D. 18【答案】C【解析】【分析】利用导数求得在区间上的单调性，由此求得在区间上的值域，进而求得为整数的实数的个数.【详解】在区间上，所以在区间上的单调递增.而，所以在区间上的值域为，其中有共个整数.由于为一一对应，所以满足，且为整数的实数的个数为.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查一一对应，属于基础题.5
3、.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】研究函数的单调性，结合充分、必要条件的知识选出正确答案.【详解】由于，画出的图像如下图所示，由图可知在上递增.所以，所以“”是“”的充要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6.已知，满足条件，若的最大值为0，则实数的值为（ ）A. B. -2C. D. 2【答案】B【解析】分析】画出可行域，对分成三种情况，结合的最大值为，求得的值.【详解】画出可行域如下图所示.其中，.
4、当时，目标函数为，由图可知，可行域内的最大值也即是的最大值为，不符合题意.当时，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此可知在点取得最大值，即不符合.当时， 向上平移基准直线到可行域边界位置，由此可知在点取得最大值，即符合.所以的值为.故选：B【点睛】本小题主要考查线性规划根据目标函数的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7.如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：），则该三棱锥侧视图面积是（ ）（单位：）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据侧视图和正视图、俯视图关系，判断出侧视图三角形的底边长和高，由此求得侧视图的面积.【详解】由于几何体为三棱锥，所以它的侧视
5、图为三角形.根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”可知，侧视图的底边长和俯视图的宽相等，即侧视图的底边长为；侧视图的高和主视图的高相等，即侧视图的高为.所以侧视图的面积为.故选：D【点睛】本小题主要考查三视图面积的计算，属于基础题.8.等差数列满足：，.记，当数列的前项和取最大值时，（ ）A. 17B. 18C. 19D. 20【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得的关系，由此求得的表达式，根据判断的符号，由此求得数列的前项和取最大值时的值.【详解】设等差数列的公差为，依题意，则，即.所以数列的通项公式为.所以.由于，所以当时，当，当时，.由于，所以当时，取得最大值.故选：C【点睛】本小题主
6、要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.9.已知，是椭圆：短轴的两个端点，点为坐标原点，点是椭圆上不同于，的动点，若直线，分别与直线交于点，则面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出点坐标，由直线的方程以及，求得两点的坐标，由此求得的表达式，求得的最小值，进而求得面积的最小值.【详解】设，则，即.依题意.则直线的方程分别为，令，得.则.而，表示点和点之间连线的斜率的倒数.设过的直线与椭圆相切，由消去并化简得，判别式，.所以，所以，所以.也即的最小值为，所以三角形面积的最小值为.故选：D【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质
7、，考查直线方程，考查三角形面积最值的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10.如图，中，边的垂直平分线分别与，交于点，若是线段上的动点，则的值为（ ）A. 与角有关，且与点的位置有关B. 与角有关，但与点的位置无关C. 与角无关，但与点的位置有关D. 与角无关，且与点的位置无关【答案】D【解析】【分析】将表示为含有的表达式，结合向量加法、减法和数量积运算，化简求得的值.【详解】由于，所以依题意.所以.所以的值与角无关，且与点的位置无关.故选：D【点睛】本小题主要考查平面向量加法、减法、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，
8、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：11.已知是角的终边上一点，则_，角的最小正值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值.【详解】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为.故答案为：（1）；（2）【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.12.已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球和5个白球，现从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同的概率是_；若变量为取出3个球中红球的个数，则的方
9、差_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用排列数公式、相互独立事件概率计算公式，计算出“从该箱中有放回地依次取出个小球.则个小球颜色互不相同的概率”.利用二项分布方差计算公式，计算出.【详解】设抽取一次，抽到到红球、黑球、白球的事件分别为，则.则“从该箱中有放回地依次取出个小球.则个小球颜色互不相同”的事件有种情况，每种情况的概率都为，所以“从该箱中有放回地依次取出个小球.则个小球颜色互不相同的概率”为.依题意可知变量，所以.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率的计算，考查二项分布方差的计算，属于基础题.13.已知的展开式中的各二项式系数的和比各项
10、系数的和小240，则_；展开式中的系数最大的项是_.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】分别求得二项式系数的和、各项系数的和，由此列方程组，解方程求得的值.结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数最大的项.【详解】的展开式中的各二项式系数的和为.令，则各项系数的和为，依题意，.所以二项式为，其展开式的通项公式为，所以展开式中的系数为，令，得系数的取值为:，所以展开式中的系数最大的项是.故答案为：(1). 4 (2). 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的二项式系数和、各项系数之和、系数最大的项，属于基础题.14.在中，角，所对的边分别为，.是内切圆的圆心，若，则_；_.【答
11、案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用等面积法计算出内切圆的半径，利用向量加法和减法的运算求得，由此求得的值.【详解】依题意是内切圆的圆心，是切点，由于，所以，是中点，在上.设内切圆的半径为，则.由三角形的面积公式得，即，解得.所以.所以.所以，所以.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查三角形内切圆有关计算，考查用基底表示向量，考查向量加法、减法和数乘运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.已知，实数，满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由求得的关系式，求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值.【详解】依题意.由，得，即，即，即.所以，将代入上式
12、得，当且仅当时等号成立，即，即时取得最小值.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解很强，属于难题.16.已知两定点，位于动直线的同侧，集合点到直线的距离之和等于，.则集合中的所有点组成的图形面积是_.【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离之和等于，判断出原点到直线的距离为，由此判断出集合是圆的所有切线组成，故集合表示圆内的点，由此求得集合中的所有点组成的图形面积.【详解】画出图像如下图所示，由于点到直线距离之和等于，结合图像，由中位线的性质可知，到的距离为，所以集合是圆的所有切线组成，所以集合表示圆内的点，故集合中的所有点组成的图
13、形面积为.故答案：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17.已知矩形，、分别为边、的中点.沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，的中点的轨迹长度为_.【答案】【解析】【分析】判断出沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，点的轨迹.根据三角形的中位线，确定翻折过程中点的轨迹，由此计算出的轨迹长度.【详解】设与相交于，由于在矩形中，分别是的中点，且，所以四边形是正方形. 沿直线将翻折成，在点从至的运动过程中，不变，故点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆.设是的中点，由于是的中点，所以是三角形的中位线，所以,.由于在翻折过程中，两
14、点的位置不变，所以点的位置不变，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆.所以的轨迹长度为.故答案为：【点睛】本小题主要考查空间中的点的轨迹问题，考查空间想象能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题： 18.设函数.（1）若，求的单调递增区间；（2）在中，且为钝角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、降次公式和辅助角公式化简，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.（2）利用求得，由余弦定理求得，再由正弦定理求得.【详解】（1），当时，.当，即时，是增函数.所以在上的单调递增区间为.（2）在中，由，得或.因为为钝角，所以.由余弦定理得
15、.又由正弦定理，得.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题.19.如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形，.平面平面，四边形为菱形，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】方法一（几何法）：（1）通过证明，证得平面，由此证得；（2）作出直线与平面所成角，利用两角差的正切公式，求得线面角的正切值，再转化为正弦值.方法二（向量法）：（1）取中点，连接，证得底面，由此以为原点建立空间直角坐标系，通过计算，证得.（2）由（1）计算出直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出与平面所成角的正弦
16、值.【详解】方法一、（1）连接、，取中点，连接、.等腰梯形中，.，.又在菱形中，.又平面平面，交线为，底面.，四边形为平行四边形，.底面，又，相交，平面，.（2）取中点，连接，相交于点，连接，显然平面平面.平面，平面平面，平面平面，交线为，为与平面所成角.，由解得.与平面所成角的正弦值为.方法二、（1）取中点，连接.四边形为菱形，.又平面平面，交线为，底面.以为原点如图建立空间直角坐标系，则，.，.（2），设平面的法向量为，则，取，.与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知数列的前项和为，.（1）求数
17、列的通项公式；（2）若，为数列的前项和.求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求得数列的通项公式.（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.【详解】（1），令，得.又，两式相减，得.（2）.又，.【点睛】本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.设点，的坐标分别为，直线和相交于点，且和的斜率之差是1.（1）求点的轨迹的方程；（2）过轨迹上的点，作圆：的两条切线，分别交轴于点，.当的面积最小时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点坐标，根据和的斜率之差是列方程，化简后求得点的轨
18、迹的方程.注意排除斜率不存在的情况.（2）设出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，利用圆心到切线的距离为列方程，化简后写出关于切线、的斜率，的根与系数关系，求得两点的坐标，进而求得的面积的表达式，化简后利用基本不等式求得的面积的最小值以及此时对应的值.【详解】（1）设，由题意得.化简得点的轨迹的方程为：.（2）由点所引的切线方程必存在斜率，设为.则切线方程为，即.其与轴的交点为，而圆心到切线的距离，整理得：，切线、的斜率分别为，则，是方程的两根，故，而切线与轴的交点为，故，又，将代入得，而点在上，故，当且仅当，即时等号成立.又，故当点坐标为，时，.【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆的切
19、线方程，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.22.已知函数有极小值.（1）试判断，的符号，求的极小值点；（2）设的极小值为，求证：.【答案】（1），的极小值点为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，结合有极小值，判断出，的符号，以及求得的极小值点.（2）由（1）求得.利用差比较法，首先化简，然后利用换元法，结合导数，证得，由此证得不等式成立.【详解】（1），.又函数有极小值.，的极小值点为.（2）由（1）知，.令，.则.令，得，在单调递减，在单调递增.，.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.