1、第一章单元质量评估(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1函数f(x)x2lnx的导数为(C)Af(x)2xexBf(x)2xlnxCf(x)2xDf(x)2x2已知物体的运动方程是st44t316t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是(D)A0秒、2秒或4秒 B0秒、2秒或16秒 C2秒、8秒或16秒 D0秒、4秒或8秒解析：st312t232tt(t4)(t8)，令s0，则有t(t4)(t8)0，解得t0或t4或t8.3已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)(C)A在(，0)上为减函数 B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数 D在x2处取极大
2、值解析：在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0，xex(x2)0，即2x0时，f(x)lnxf(1)x23x2，f(x)2f(1)x3，f(1)42f(1)；当x0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的减区间是(A)A(1,1) B(0,1) C(1,0) D(2，1)解析：令f(x)3x23a0，得x，f()2，f()6，得a1，b4，当x(1,1)时，f(x)3x230.即1x1.11函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极值，则(A)A0b1 Bb0 Db解析：f(
3、x)3x23b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f(x)0有解，x，01，0b0，则a的取值范围是(C)A(2，) B(1，) C(，2) D(，1)解析：当a0时，f(x)3x21存在两个零点，不合题意；当a0时，f(x)3ax26x3ax，令f(x)0，得x10，x2，所以f(x)在x0处取得极大值f(0)1，在x处取得极小值f1，要使f(x)有唯一的零点，需f0，但这时零点x0一定小于0，不合题意；当a0，解得a2舍去)，且这时零点x0一定大于0，满足题意，故a的取值范围是(，2)二、填空题(每小题5分，共20分)13在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二
4、象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为(2,15)解析：y3x2102，x2.又点P在第二象限内，x2，点P的坐标为(2,15)14函数f(x)asinxsin3x在x处有极值，则a的值是2.解析：因为f(x)asinxsin3x，则f(x)acosxcos3x，函数f(x)在x处有极值，所以f()acoscos0，解得a2.15函数f(x)ax44ax2b(a0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a2，b3.解析：令y4ax38ax4ax(x22)0，解得x10，x2，x3.又f(1)a4abb3a，f(2)16a16abb，f()b4a.a2，b3.16若f(x)ax
5、3bx2cxd(a0)在R上是单调递增函数，则a，b，c满足的关系式为a0，且b23ac.解析：由题意可知f(x)3ax22bxc0恒成立，则即a0，且b23ac.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)求下列函数的导数(1)yxsinx；(2)f(x)3xsinx.解：(1)y(xsinx)sinxxcosx.(2)(3xsinx)(3x)sinx3x(sinx)3xln3sinx3xcosx3x(sinxln3cosx)；.f(x)3x(sinxln3cosx).18(12分)已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值1，试确定a，b的值，并求
6、出f(x)的单调区间解：由已知，可得f(1)13a2b1.又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由可得故函数f(x)的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x0)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；(2)当x(0,1时，f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.20(12分)当0xx.
7、证明：设函数f(x)sinxx，显然f(0)0，则f(x)cosx12sin22.又因为0xsinx，所以sin0，220.故f(x)0，函数f(x)在上是增函数，所以f(x)f(0)0，即sinxx.21(12分)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间及其极值；(2)证明：对一切x(0，)，都有x(x1)2exlnx成立解：(1)f(x)，f(x).由f(x)0，得xe.当xe时，f(x)0，f(x)为减函数；当0x0，f(x)为增函数f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，)xe是f(x)的极大值点，f(x)极大值f(e).(2)证明：对一切x(0，)，都有x(x
8、1)2exlnx成立，等价于(x1)2ex.(x1)2ex成立，当且仅当x1时等号成立，又由(1)知，f(x)的最大值也是f(x)的极大值，即为f(e)，函数(x1)2ex的最小值大于或等于函数f(x)的最大值，但取最值的条件不同对一切x(0，)，都有x(x1)2exlnx成立22(12分)已知函数f(x)ex.(1)当a时，求函数f(x)在x0处的切线方程；(2)函数f(x)是否存在零点？若存在，求出零点的个数，若不存在，说明理由解：(1)f(x)ex，f(x)ex，f(0)1.当a时，f(0)3.又f(0)1，f(x)在x0处的切线方程为y(1)3(x0)，即y3x1.(2)函数f(x)的定义域为(，a)(a，)当x(a，)时，ex0，0，f(x)ex0.即f(x)在区间(a，)上没有零点当x(，a)时，f(x)ex，令g(x)ex(xa)1.只要讨论g(x)的零点即可g(x)ex(xa1)，g(a1)0.当x(，a1)时，g(x)0，g(x)是增函数g(x)在区间(，a)上的最小值为g(a1)1ea1.显然，当a1时，g(a1)0，xa1是f(x)的唯一的零点；当a0，f(x)没有零点；当a1时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点