1、第一章单元质量评估(一)第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1函数f(x)sinx的导数为(C)Af(x)2sinxcosxBf(x)2sinxcosxCf(x)cosxDf(x)cosx解析：f(x)()sinx(sinx)sinxcosx，故选C.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则(A)Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：y2xa，曲线yx2axb在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为ybax，即axyb0.a1，b1.3设f(x)xlnx，若f(x0)2，则x0(B)Ae2 BeC. Dln2解析：f(x)(x
2、lnx)lnx1，f(x0)lnx012，x0e.4已知f(x)x22xf(1)，则f(0)等于(B)A0 B4C2 D2解析：f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2，f(x)2x4，f(0)4.5曲线y在点M处的切线的斜率为(B)A B.C D.解析：因为y，所以y|x，故曲线在点M处的切线的斜率为.6如图是函数yf(x)的导函数的图象，给出下面四个判断：f(x)在区间2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x2是f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是(B)A BC D解析：由函数yf(x)的导函数的图象可
3、知：(1)f(x)在区间2，1上是减函数，在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；(2)f(x)在x1处取得极小值，在x2处取得极大值故正确7对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是(A)A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21解析：f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数不存在极值点故选A.8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)(D)A30元 B60元C
4、28 000元 D23 000元解析：设毛利润为L(P)，由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700，令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元9函数f(x)(ab1)，则(C)Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Df(a)，f(b)大小关系不能确定解析：f(x)，当x1时，f(x)0，即f(x)在区间(，1)上单调递减，又abf(b)10函数f(x)x3x2
5、x2的零点个数及分布情况为(A)A一个零点，在内B二个零点，分别在，(0，)内C三个零点，分别在，(1，)内D三个零点，分别在，(0,1)，(1，)内解析：利用导数法易得函数f(x)在内单调递减，在内单调递增，在(1，)内单调递减，而f0，f(1)10，故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内，故选A.11对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有(C)Af(0)f(2)2f(1)解析：当1x2时，f(x)0，则f(2)f(1)；而当0x1时，f(x)0，则f(1)f(0)，从而f(0)f(2)2f(1)12设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)
6、f(x)，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是(B)Af(a)eaf(0)Cf(a)解析：构造函数g(x)，则g(x)0，故函数g(x)在R上单调递增，所以g(a)g(0)，即，即f(a)eaf(0)第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13过点(2,0)且与曲线y相切的直线的方程为xy20.解析：设所求切线与曲线的切点为P(x0，y0)，y，yxx0，所求切线的方程为yy0(xx0)点(2,0)在切线上，0y0(2x0)，xy02x0.又x0y01，由解得所求直线方程为xy20.14设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为(1
7、,1)解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1.又曲线y(x0)上点P处的切线与曲线yex在点(0,1)处的切线垂直，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率为1，设P(a，b)，yx2，曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21，解得a1，又P(a，b)在曲线y上，b1，故点P的坐标为(1,1)15设函数f(x)xmax的导数为f(x)2x1，则数列(nN)的前n项和是.解析：f(x)mxm1a2x1，得则f(x)x2x，其和为1.16已知函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为1，)解析：根据题意，知f(x)mx20对一切x0恒成立，m2，令g
8、(x)221，则当1时，函数g(x)取得最大值1，故m1.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)设函数f(x)x32mx2m2x1m(其中m2)的图象在x2处的切线与直线y5x12平行(1)求m的值；(2)求函数f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)因为f(x)3x24mxm2，所以f(2)128mm25，解得m1或m7(舍去)，即m1.(2)令f(x)3x24x10，解得x11，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f(x)f(x)22所以函数f(x)在区间0,1上的最小值为f.18(12分)已知函数f(x)kx33(k1)x2k
9、21(k0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)，(1)求k的值；(2)当k3.解：(1)f(x)3kx26(k1)x，由f(x)0得0x1时，1，g(x)0，g(x)在x1，)上单调递增x1时，g(x)g(1)，即23，23.19(12分)已知函数f(x)kx33x21(k0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围解：(1)当k0时，f(x)3x21，f(x)的单调增区间为(，0)，单调减区间为0，)当k0时，f(x)3kx26x3kx，f(x)的单调增区间为(，0)，单调减区间为.(2)当k0时，函数f(x)不存在极小值，当k0时，依题意得f1
10、0，即k24，所以k的取值范围为(2，)20(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数，当x10时，y19.2；当x20时，y35.7.(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游收入投入)解：(1)由条件得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)由题意知T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍去)或
11、x50.当x(10,50)时，T(x)0，T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，T(x)在(50，)上是减函数，x50为T(x)的极大值点，又T(50)24.4.故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元21(12分)已知函数f(x)x3x2cxd有极值(1)求c的取值范围；(2)若f(x)在x2处取得极值，且当x0时，f(x)0，c0，函数单调递增，当x(1,2时，f(x)0，函数单调递减x0时，f(x)在x1处取得最大值d，x0时，f(x)d22d恒成立，d0，d1，即d的取值范围是(，7)(1，)22(12分)设a为实数，函数f(x)ex2x2a
12、，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln21且x0时，exx22ax1.解：(1)f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是，当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)单调递减22ln22a单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)22ln22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)及aln21知，对任意xR，都有g(x)g(ln2)22ln22a0，所以g(x)在R内单调递增于是，当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)，而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.