1、课时作业8生活中的优化问题举例时间：45分钟基础巩固类一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A8 B .C1 D8解析：原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(B)A2和6 B 4和4C3和5 D以上都不对解析：设一个数为x，则另一个数为8x，则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x
2、1920，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小3圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为(A)A21 B 12C14 D41解析：设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则Vr2h，即h.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省，S2r22rh2r22r2r2.令S4r0，得r，当r时，h，则hr21时，所用材料最省4某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产(A)A6千台 B 7千台C8千台 D9千台解析：设
3、利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0(舍)或x6，经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的最大值点5某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(A)A32米，16米 B 30米，15米C40米，20米 D36米，18米解析：设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy512.则所用材料lx2y2y(y0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)当0y16时，l16时，l0.所以
4、y16是函数l2y(y0)的极小值点，也是最小值点此时，x32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省6用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为(B)A120 000 cm3 B 128 000 cm3C150 000 cm3 D158 000 cm3解析：设水箱底边长为x cm，则水箱高h60(cm)水箱容积VV(x)x2h60x2(cm3)(0x120)V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍去)或x80.可判断得当x80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.7要
5、做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积为最大，则高为(D)A cm B . cmC cm D cm解析：设漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0)S(x34V)令S0，得x.经检验，x是最小值点二、填空题9把长为60 cm的铁丝围成矩形，长为15_cm，宽为15_cm时，矩形的面积最大解析：设长为x cm，则宽为(30x) cm，此时Sx(30x)30xx2，S302x0，所以x15.经检验，x15是最大值点所以长为15 cm，宽为15 cm时，矩形的面积最大10
6、面积为S的一切矩形中，其周长最小的矩形的边长是.解析：设矩形的一边的边长为x，则另一边边长为，其周长为l2x，x0，l2，令l0，解得x，易知，当x时，其周长最小11如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是.解析：设CDx，则点C坐标为，点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f(x)0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.三、解答题12已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系
7、式为p25q，求产量q为何值时，利润L最大解：法1：收入Rqpq(25q)25qq2.利润LRC(25qq2)(1004q)q221q100(0q200)，Lq21，令L0，即q210，解得q84.因为当0q0；当84q200时，L0，所以当q84时，L取得最大值法2：收入Rqpq(25q)25qq2.利润LRC(25qq2)(1004q)q221q100(0q200)所以L(q2168q7 056)782(q84)2782.所以当q84时，L取得最大值，最大值为782.13某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2
8、，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解：(1)因为x5时y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)知该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6；f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，解得x4或x6(舍去)函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x4时函数f(x)取得最大值f(4)42.即当销售
9、价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大能力提升类14如图(1)，ACB45，|BC|3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图(2)所示)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大解：在如题图(1)所示的ABC中，设|BD|x(0x3)，则|CD|3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以|AD|CD|3x.由折起前ADBC知，折起后(如题图(2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD，又BDC90，所以SBCD|BD|CD|x(3x)于是VABCD|AD|SBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1,3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值f(1)，即VABCD取得最大值.故当|BD|1时，三棱锥ABCD的体积最大