1、第58课时 磁场中的动态圆、磁 聚焦、磁发散问题(题型研究课)课时跟踪检测命题点二 磁聚焦和磁发散问题 命题点一 平移圆、放缩圆、旋转圆问题 返回命题点一 平移圆、放缩圆、旋转圆问题返回1适用条件(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为 v0，则圆周运动半径 Rmv0qB，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。题型 1 平移圆问题 返回2界定方法将半径为 Rmv0qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。(2)轨迹圆圆心共线带电
2、粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。返回例 1(多选)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板 MN 上方是磁感应强度大小为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为 2d 和 d 的缝，两缝近端相距为 L。一群质量为 m、电荷量为 q、速度不同的粒子，从宽度为 2d 的缝垂直于板 MN 进入磁场，对于能够从宽度为 d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是()A射出粒子带正电B射出粒子的最大速度为qB3dL2mC保持 d 和 L 不变，增大 B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D保持 d 和 B 不变，增大 L，射出粒子的最大速度
3、与最小速度之差增大返回解析 利用左手定则可判定，射出粒子带负电，A 项错误；利用 qvBmv2r 知 rmvqB，能射出的粒子半径满足L2r L3d2，因 此 射 出 粒 子 的 最 大 速 度 vmax qBrmaxmqB3dL2m，B 项正确；射出粒子的最小速度 vminqBrminmqBL2m，vvmaxvmin3qBd2m，由此可判定，C 项正确，D 项错误。答案 BC返回题型 2 放缩圆问题 1适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。(2)轨迹圆圆心共线如图所示(图中
4、只画出粒子带正电的情景)，速度 v 越大，运动半径也越大。带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线 PP上。返回2界定方法以入射点 P 为定点，圆心位于 PP直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。返回例 2(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内，O点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，下列说
5、法中正确的是()返回A若该带电粒子在磁场中经历的时间是53t0，则它一定从cd 边射出磁场B若该带电粒子在磁场中经历的时间是23t0，则它一定从ad 边射出磁场C若该带电粒子在磁场中经历的时间是54t0，则它一定从bc 边射出磁场D若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从ab 边射出磁场返回解析 如图所示，作出带电粒子以与Od 成 30角的方向的速度射入正方形内时，刚好从 ab 边射出的轨迹、刚好从 bc 边射出的轨迹、从 cd 边射出的轨迹和刚好从 ad 边射出的轨迹。由从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好从 c 点射出磁场可知，带电粒子在磁
6、场中做圆周运动的周期是 2t0。由图中几何关系可知，从 ad 边射出磁场经历的时间一定小于13t0；从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于13t0，小于56t0；从 bc 边射出磁场经历的时间一定大于56t0，小于43t0；从 cd 边射出磁场经历的时间一定是53t0。综上所述，A、C 正确。答案 AC返回题型 3 旋转圆问题 1适用条件(1)速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为 v0，则圆周运动半径为 Rmv0qB，如图所示。(2)轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心
7、、半径 Rmv0qB 的圆上。返回2界定方法将半径为 Rmv0qB 的圆以带电粒子入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆法”。返回例 3 边长为 L 的等边三角形 OAB 区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。在纸面内从 O点向磁场区域 AOB 各个方向瞬时射入质量为m、电荷量为 q 的带正电的粒子，所有粒子的速率均为 v。如图所示，沿 OB 方向射入的粒子从 AB 边的中点 C 射出，不计粒子之间的相互作用和重力的影响，已知 sin 350577。求：(1)匀强磁场的磁感应强度的大小；(2)带电粒子在磁场中运动的最长时间；(3)沿 OB 方向射入的粒子从 AB 边的中点
8、 C 射出时，还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例。返回解析(1)OCLcos 30 32 L沿 OB 方向射入的粒子从 AB 边的中点 C 射出，由几何知识得，粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角为 60半径 rOC 32 L由 qvBmv2r得 Bmvqr 2 3mv3qL。(2)从 A 点射出的粒子在磁场中运动时间最长，设弦 OA 对应的圆心角为，由几何关系得sin 2L2r 33 0577，70最长时间 tm 703602mqB 7 3L36v。返回(3)从 OA 上 D 点射出的粒子做圆周运动的弦长 ODOC，粒子做圆周运动的圆弧对应的圆心角也为 60，如图所示，由几何知识得入射速度与
9、OD 的夹角应为 30，即沿 OC 方向射入的粒子在磁场中运动的时间与沿 OB 方向射入的粒子从 AB 边的中点 C 射出的时间相等，从 OB 方向到 OC方向这 30范围内的粒子此时都还在磁场中，而入射的范围为60，故还在磁场中运动的粒子占所有粒子的比例是12。答案 (1)2 3mv3qL (2)7 3L36v (3)12返回集训冲关 1(2019广州检测)不计重力的两个带电粒子 M和 N 沿同一方向经小孔 S 垂直进入匀强磁场，在磁场中的运动轨迹如图所示。分别用vM 与 vN、tM 与 tN、qMmM与qNmN表示它们的速率、在磁场中运动的时间、比荷，则()A如果qMmMqNmN，则 vM
10、vNB如果qMmMqNmN，则 vMqNmND如果 tMtN，则qMmMqNmN返回解析：由 qvBmv2R得qm vBR，由题图可知 RMRN，如果qMmMqNmN，则 vMvN，A 正确，B 错误；如果 vMvN，则qMmMR 时，粒子沿图中方向射出磁场能打到荧光屏上，当粒子做圆周运动的半径 rR 时，将沿图中、方向射出磁场，不能打到荧光屏上。当粒子速度为 v1 时，由洛伦兹力提供向心力，得 qv1Bmv12r1，解得 r1 3RR，故能打到荧光屏上；同理，当粒子的速度为 v2 时，解得 r2 33 R15106 m/s 时，粒子能打到荧光屏上。返回(3)设速度 v0v430106 m/s
11、 时，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 r4，由洛伦兹力提供向心力，得 qv4Bmv42r4，解得 r42R，如图乙所示，粒子在磁场中运动的轨迹是以 E 点为圆心，以 r4 为半径的一段圆弧。因圆形磁场以O 为轴缓慢转动，故磁场边界变为以 O 为圆心，以 2R 为半径的圆弧 ABE，粒子轨迹圆弧与其交点为 B，当 A 点恰转至 B 点，此时粒子的出射点为 B，在磁场中的偏角 最大为 60，射到荧光屏上 P 点离 A 点最远，由几何知识得 APCAtan(2Rr4tan 30)tan 60 315 m015 m。答案：(1)速度为 v1 时，能 速度为 v2 时，不能(2)v015106
12、m/s(3)015 m返回命题点二 磁聚焦和磁发散问题返回带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行磁发散磁聚焦返回例 1 如图甲所示，平行金属板 A 和 B 间的距离为 d，现在 A、B 板上加上如图乙所示的方波形电压，t0 时，A 板比 B 板的电势高，电压的正向值为 u0，反向值为u0。现有质量为 m、带电荷量为 q 的正粒子组成的粒子束，沿 A、B 板间的中心线 O1O2 以速度 v0 3qu0T3
13、dm 射入，所有粒子在 A、B 板间的飞行时间均为 T，不计重力影响。求：返回(1)粒子射出电场时的位置离 O2 点的距离范围及对应的速度；(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，对应磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度大小。返回解析(1)由题意知，当粒子由 tnT(n0,1,2,3，)时刻进入电场，向下侧移最大，则 s1 qu02dm2T32qu0dm2T3 T3 qu02dmT327qu0T218dm，当粒子由 tnT2T3(n0,1,2,3，)时刻进入电场，向上侧移最大，则 s2 qu02dmT32qu0T218dm，在距离
14、O2点下方7qu0T218dm 至 O2点上方qu0T218dm的范围内有粒子射出电场，返回由上述分析知，粒子射出电场的速度都是相同的，方向垂直于 v0 向下的速度大小为vyu0qdmT3u0qT3dm，所以射出速度大小为v v02vy23u0qT3dm2u0qT3dm22u0qT3dm，设速度方向与 v0 的夹角为，则 tan vyv0 13，30。返回(2)要使射出电场的粒子能够交于圆形磁场区域边界一个点上且区域半径最小时，磁场区域直径与粒子射出范围的宽度相等，如图所示，粒子射出范围的宽度 D(s1s2)cos 30，即 D4qu0T29dm cos 302 3qu0T29dm，故磁场区域
15、的最小半径为rD2 3qu0T29dm，返回而粒子在磁场中做圆周运动，为使粒子偏转后都通过磁场边界的一个点处，粒子运动半径应为 r，有qvBmv2r，解得 B2 3mqT。答案 (1)离 O2 点下方7qu0T218dm 至 O2 点上方qu0T218dm的范围内 2u0qT3dm，方向与 v0 的夹角为 30偏向下(2)3qu0T29dm 2 3mqT返回例 2 如图所示，真空中有一半径 r05 m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小 B2103 T，方向垂直于纸面向外，在 x1 m 和 x2 m之间的区域内有一沿 y 轴正方向的匀强电场区域，电场强度 E15103 N/C。在
16、 x3 m 处有一垂直于 x 轴方向的足够长的荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同、比荷 qm1109 C/kg 且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的 A 点离开磁场，不计粒子重力及其相互作用，求：返回(1)沿 y 轴正方向射入磁场的粒子进入电场时的速度大小和粒子在磁场中的运动时间；(2)速度方向与 y 轴正方向成 30角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；(3)按照(2)中条件运动的粒子最后打到荧光屏上的位置坐标。解析(1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径 Rr05 m，由 Bqvmv2
17、R，可得粒子进入电场时的速度为vqBRm 1109210305 m/s1106 m/s，在磁场中运动的时间为t114T m2Bq21092103 s4106 s。返回(2)由粒子的轨迹半径 Rr 及几何关系可知，粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点 O、C 以及两圆的圆心 O1、O2 组成菱形，CO2 和 y 轴平行，所以粒子离开磁场时的速度 v 的方向和x 轴平行向右，如图甲所示。返回(3)粒子在磁场中转过 120后从 C 点离开磁场，速度方向和 x轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图乙所示。在电场中的加速度大小为aEqm 151031109 m/s2151012 m/s2，返回粒子穿出电场时有vyat2axv 15101211106 m/s15106 m/s，tan vyvx1.51061106 15，在磁场中 y1r(1sin)0515 m075 m，在电场中侧移为y212at221215101211106 2 m075 m，飞出电场后粒子做匀速直线运动y3xtan 115 m15 m，yy1y2y3075 m075 m15 m3 m，则粒子打到荧光屏上的位置坐标为(3 m,3 m)。答案 (1)1106 m/s 4106 s(2)与 x 轴平行向右(3)(3 m,3 m)返回“课时跟踪检测”见“课时检测(五十八)”(单击进入电子文档)
