1、高中数学必修1苏教版23 映射的概念学习目标1了解映射的概念，掌握映射的三要素2会判断给出的两集合，能否构成映射知识链接设A，B是两个，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的，在集合B中都有的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为预习导引一般地，设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的，记作f：AB.非空数集每一个元素x唯一yf(x)映射要点一 映射的判定例1 在下列对应关系中，哪些是集合A到集合B的映射？(1)A0,1,2,3，B1,2,3,4，对应法则f：“加1”；(2
2、)A(0，)，BR，对应法则f：“求平方根”；(3)AN，BN，对应法则f：“3倍”；(4)AR，B正实数，对应法则f：yx2，xA，yB；(5)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应法则f：A中的元素对应它的内接矩形解(1)集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然，此对应关系是A到B的映射(2)集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有两个元素与之对应，显然，此对应关系不是A到B的映射(3)集合A中的每一个元素通过法则f作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故此对应关系是A到B的映射(4)因为A中的元素0在集合B中无元素与之对应，因此不是A到
3、B的映射(5)因为一个圆有无穷个内接矩形，即集合A中的任何一个元素在集合B中都有无穷个元素与之对应，因此不是集合A到集合B的映射规律方法 判断对应法则f：AB是否为A到B的映射，应根据定义，判断A中的元素在B中是否有唯一的一个元素与之对应，若不是映射时，只需举一个反例，说明A中的元素在B中无对应元素或A中的元素在B中有两个或两个以上的对应元素即可跟踪演练 1 判断下列对应是否是映射，是否是函数(1)AN，BN*，f：x|x1|，xA，yB；(2)AR，B1,2，f：xy1x0，2x0；(3)A平面 M 内的三角形，B平面 M 内的圆，对应法则是“作三角形的外接圆”解(1)1A，在f作用下，1|
4、11|0B，不是映射，故也不是函数(2)对于A中元素x0时与B中的元素1对应，而当x0时与B中的元素2对应，因此能构成映射，又A，B均为数集，因此也能构成函数(3)由于平面内的三角形都有其外接圆，且外接圆唯一，因此能构成从A到B的映射，但由于A，B都不是数集，因此不能构成函数要点二 确定映射中的对应元素例2 设集合PQ(x，y)|x，yR，f：PQ是从集合P到集合Q的映射，f：(x，y)(xy，xy)求(1)集合Q中与集合P中元素(3,2)对应的元素；(2)集合P中与集合Q中元素(3,2)对应的元素解(1)由325,326得到，集合Q中与集合 P中元素(3,2)对应的元素为(5,6)(2)设集
5、合 P 中与集合 Q 中元素(3,2)对应的元素为(x，y)，则xy3，xy2，解得x2，y1或x1，y2，集合 P 中与集合 Q 中元素(3,2)对应的元素为(2,1)或(1,2)规律方法 由映射中一个集合的元素求出与之对应的另一个集合中的元素解决这类问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时需构造方程(组)进行求解即可，这时需注意解得的结果可能有多个跟踪演练 2 已知集合 AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从 A 到 B 的映射，f：x(x1，x21)，求 A
6、 中元素 2在 B中和 B 中元素32，54 在 A 中的对应元素解 将 x 2代入对应关系，可求出它在 B 中的对应元素(21,3)由x132，x2154，得 x12.所以 2在 B 中对应元素为(21,3)，32，54 在 A 中对应元素为12.要点三 映射个数的判定例3 已知集合Aa，b，c，B1,2,3，映射f：AB满足A中元素a在B中的对应元素是1，问这样的映射有几个解 由已知f(a)1，所以，f(b)f(c)1时有1个；f(b)f(c)2或f(b)f(c)3时各有1个，共2个；f(b)1，f(c)2时有1个；f(b)1，f(c)3时有1个；f(c)1，f(b)2时有1个；f(c)1
7、，f(b)3时有1个；f(b)2，f(c)3时有1个；f(b)3，f(c)2时有1个综上可知，共有不同映射9个规律方法(1)求由已知集合中的元素构成映射的个数时，应用分类讨论的方法，分类可按一定的顺序，这样才能不重不漏(2)一般地，若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可以建立nm个映射，而从B到A可以建立mn个映射跟踪演练3 已知集合A1,2,3，Ba，b求(1)A到B的不同映射f：AB有多少个？(2)B到A的不同映射f：BA有多少个？解 法一(1)据映射定义，A到B的不同映射可分两类：A中三个元素都对应B中的一个元素时，有以下2个不同映射：A中的两个元素同时对应B中的一个元素，A中的另一个元素对应B中的另一个元素时，有以下6个不同映射：综上可知，A到B的不同映射共有8个(2)类似(1)可求得B到A的不同映射共有9个法二(1)据映射定义，A到B的映射需A中的每一个元素在B中有唯一的元素与之对应，A中每个元素在B中对应元素都有2种情况，故可形成不同的映射2228(个)(2)同理，在B到A的映射中，B中每个元素在A中对应元素都有3种情况，故可形成不同的映射有339(个).再见
