1、第二十讲 矩形、菱形、正方形 考点一 矩形的性质与判定【主干必备】性质 除具有平行四边形的性质外,还有:1.矩形的四个角都是_ 2.矩形的对角线_ 3.既是_图形,又是轴对称图形 判定 1.有一个角是_的平行四边形 2.对角线_的平行四边形 3.有三个角是_的四边形 直角 相等 中心对称 直角 相等 直角 【微点警示】(1)矩形的分割:矩形被对角线所 分成的四个三角形都是等腰三角 形,它们相对的两个全等,它们的 面积都相等.(2)判定的思路:若起点是四边形,需加上三个角是直角才得到矩形;若起点是平行四边形,加上一个角是直角或对角线相等便得到矩形.【核心突破】例1(2019青岛中考)如图,在AB
2、CD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:ABECDF.(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.【思路点拨】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD,ABCD,OB=OD,OA=OC,由平行线的性质得出ABE=CDF,证出BE=DF,由SAS证明ABECDF即可.(2)证出AB=OA,由等腰三角形的性质得出AGOB,OEG=90,同理:CFOD,得出EGCF,由三角形中位线定理得出OECG,所以EFCG,得出四边形EGCF是平行四边形,即可得出结论.【自主解答】略【明技法】矩形判定方法的选
3、择技巧(1)若易证得四边形是平行四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得其是矩形.(2)三个角是直角的四边形是矩形.(3)有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形.(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【题组过关】1.(2019临沂中考)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是 BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使 四边形AMCN是矩形,这个条件是()A A.OM=AC B.MB=MO C.BDAC D.AMB=CND 122.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=CA,连接AE,如果ACB=40,则E的值
4、是()A.18 B.19 C.20 D.40 C 3.(2019昆明西山区模拟)如图,在矩形ABCD中,对角 线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=4 cm,则矩形ABCD 的面积为 世纪金榜导学号()B A.12 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.6 cm2 334.(2019甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把CDE沿DE折叠,使点C落在AB边 上的F处,则CE的长为_.1035.(2019怀化中考)已知:如图,在ABCD中,AEBC,CFAD,E,F分别为垂足.世纪金榜导学号(1)求证:ABECDF.(2)求证:四边形AECF是矩形.
5、【证明】(1)四边形ABCD是平行四边形,B=D,AB=CD,ADBC,AEBC,CFAD,AEB=AEC=CFD=AFC=90,在ABE和CDF中,ABECDF(AAS).BD,AEBCFD,ABCD ，(2)ADBC,EAF=AEB=90,EAF=AEC=AFC=90,四边形AECF是矩形.考点二 菱形的性质与判定【主干必备】性质 除具有平行四边形的性质外,还有:1.菱形的四条边都_ 2.菱形的两条对角线互相_,并且每一条 对角线平分_ 3.菱形的面积等于两条对角线乘积的_ 4.既是_图形,又是轴对称图形 相等 垂直 一组对角 一半 中心对称 判定 1.有一组邻边_的平行四边形 2.对角线
6、互相_的平行四边形 3.四条边都_的四边形 相等 垂直 相等 【微点警示】(1)菱形的分割:菱形被对角线所分成的四个三角形都是直角三角形,它们四个都全等.(2)判定的思路:若起点是四边形,需加上四条边都相等才得到菱形;若起点是平行四边形,加上一组邻边相等或对角线互相垂直便得到菱形.【核心突破】例2(2019兰州中考)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D.依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由.(2)求BD的长.【思路点拨】(1)利用作法得到四边相等,从而可判断四边形ABCD的形状.(2)根据菱形的性质得
7、OA=OC=4,OB=OD,ACBD,然后利用勾股定理计算出OB,从而得到BD的长.【自主解答】略 【明技法】菱形判定方法的选择(1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直.(2)若相等的边较多(或容易证出)时,可证四条边相等.【题组过关】1.(2019天津中考)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点 的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于()C A.B.4 C.4 D.20 5352.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形 的是()B A
8、.AB=BE B.ABBE C.ADB=90 D.CEDE 3.(2019北部湾中考)如图,在菱形ABCD中,对角线 AC,BD交于点O,过点A作AHBC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH=_.世纪金榜导学号 2454.(生活情境题)如图,把两张宽度都是3 cm的纸条交错 地叠在一起,相交成角.则重叠部分的面积为 _.世纪金榜导学号 29cmsin5.(2019枣庄中考)如图,BD是菱形ABCD的对角线,CBD=75,(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F.(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,连接BF,求DBF的度数.【解析】(1)
9、略(2)四边形ABCD是菱形,ABD=DBC=ABC=75,DCAB,A=C.ABC=150,ABC+C=180,C=A=30,EF垂直平分线段AB,AF=FB,A=FBA=30,DBF=ABD-FBE=45.12考点三 正方形的性质与判定【主干必备】性质 1.正方形的四条边都_.2.正方形的四个角都是_.3.正方形的两条对角线_且互相 _,每一条对角线平分一组对角.4.既是_,又是轴对称图形.相等 直角 相等 垂直平分 中心对称图形 判定 1.有一组邻边_并且有一个角是 _的平行四边形 2.有一组邻边_的矩形 3.有一个角是_的菱形 4.对角线相等且垂直的平行四边形 相等 直角 相等 直角
10、【微点警示】(1)正方形的分割:正方形被对角线所分成的四个三角形都是等腰直角三角形,它们四个都全等.(2)判定的思路:若起点是平行四边形,需加上邻边相等和一个直角,或者加上对角线相等且垂直才得到正方形;若起点是矩形,加上一组邻边相等便得到正方形;若起点是菱形,加上一个直角便得到正方形.【核心突破】例3【原型题】(2018聊城中考)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF.(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.【思路点拨】(1)利用正方形的性质证明ABEBCF,进而得到对应边AE=BF.(2)
11、借助ABEBCF,求出DF的值,然后在RtADF中使用勾股定理求得AF的值.【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=C=90,作BHAE,垂足为点H,BAE=CBF.在ABE和BCF中,ABEBCF(ASA),AE=BF.(2)略 ABCC90ABBCBAECBF ，【变形题1】(变换结论)如图,正方形ABCD中,E是 BC上的一点,连接AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接 AF.若正方形边长是5,BE=2,求FH的长.【解析】在RtABE中,AB=5,BE=2,AE=SABE=BH=BF=AE=FH=BF-BH=225229，AE BHAB B
12、E22，5 210 292929，29，19 29.29【变形题2】(变换条件、结论)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接BD,交AE于点N,连接AC,分别交BD,BF于点O,M,连接HO,求证:HO平分AHF.略【明技法】正方形判定及性质的应用技巧(1)判定的两种思路:证明一个四边形是正方形,可以先判定为矩形,再证邻边相等或对角线互相垂直;或先判定为菱形,再证一个角是直角或对角线相等.(2)性质的兼容并蓄:正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具有它们所有的性质.(3)易得全等三角形:正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰
13、直角三角形,在正方形中对称画出分割线,很容易得到另外的全等三角形.【题组过关】1.(2019枣庄中考)如图,点E是正方形ABCD的边DC上 一点,把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置.若 四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()D A.4 B.2 C.6 D.2 562.(易错警示题)满足下列条件的四边形是正方形的是 ()A.对角线互相垂直平分的平行四边形 B.对角线互相平分且相等的矩形 C.对角线互相垂直平分的菱形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形 D 3.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的 点,EC=2,AEP=90,且EP交正方形外角的平分线CP
14、于 点P,则PC的长为_.24.(2019滁州模拟)如图,在正方形ABCD中,AC,BD相交 于点O,E,F分别为BC,CD上的两点,BE=CF,AE,BF分别交 BD,AC于M,N两点,连接OE,OF.下列结论:AE=BF;AEBF;CE+CF=BD;S四边形OECF=S正方形ABCD,其中正确的序号是 _.世纪金榜导学号 2214 5.(2019河北模拟)如图,点E是正方形ABCD对角线AC上一点,EFAB,EGBC,垂足分别为F,G,若正方形ABCD的周长是40 cm.世纪金榜导学号(1)求证:四边形BFEG是矩形.(2)求四边形EFBG的周长.(3)当AF的长为多少时,四边形BFEG是正方形?略