1、第三讲 因 式 分 解 考点一 提公因式法因式分解 【主干必备】一、因式分解的概念 1.因式分解:把一个多项式化成几个_的形式,这个运算过程叫因式分解.基本形式变形为:整式_的形式 整式_的形式.整式的积 和 积 2.因式分解与整式乘法的关系:二、用提公因式法因式分解 1.公因式的概念:多项式ab+bc的各项都含有相同的因式_,我们把多 项式各项都含有的_,叫做这个多项式各项 的公因式.2.提公因式法:ma+mb+mc=_.b 相同因式 m(a+b+c)【微点警示】1.因式分解要把握三个要点:(1)因式分解在整式范围内,等号两边必须都是整式.(2)等号左边是和或差的形式.(3)等号右边只能是乘
2、积的形式.2.提公因式后,括号内多项式的项数与提公因式前多项式的项数一致.【核心突破】【例1】(1)(2019宁波中考)分解因式:x2+xy=_.(2)(2018潍坊中考)因式分解:(x+2)x-x-2=_.x(x+y)(x+2)(x-1)【明技法】确定公因式的方法 确定多项式中各项的公因式,可概括为三“定”:(1)定系数,即确定各项系数的最大公约数.(2)定字母,即确定各项的相同字母(或相同多项式).(3)定指数,即各项相同字母(或相同多项式)的指数的最低次幂可得答案.【题组过关】1.(2019泉州永春期中)下列等式从左到右的变形是 因式分解的是()A.x(x-2)=x2-2x B.x2+2
3、xy+1=x(x+2y)+1 D C.15a2b=3a25b D.a2b2-1=(ab+1)(ab-1)2.(2019泰安泰山区期中)若x2+px+q=(x+3)(x-5),则 p,q的值分别为()A.-15,-2 B.-2,-15 C.15,-2 D.2,-15 B 3.(2019沈阳市铁西区模拟)将3x(a-b)-9y(b-a)因式 分解,应提的公因式是 世纪金榜导学号()A.3x-9y B.3x+9y C.a-b D.3(a-b)D 4.(2019哈尔滨道里区期中)将多项式-5a2+3ab提出 公因式-a后,另一个因式是_.5.(2019安丘一模)因式分解:(2a+1)a-4a-2=_.
4、世纪金榜导学号 5a-3b (2a+1)(a-2)考点二 运用公式法因式分解 【主干必备】1.平方差公式:a2-b2=_.2.完全平方公式:a22ab+b2=_.(a+b)(a-b)(ab)2【微点警示】运用公式法的关键是“两看”:(1)看项数,能用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,能用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式.(2)看特征:符合“a22ab+b2”的用完全平方公式分解,符合“a2-b2”的用平方差公式分解.【核心突破】【例2】(1)(2019怀化中考)因式分解:a2-b2=_.(2)(2019威海中考)分解因式:2x2-2x+=_.12212x2（）(a+b)(a-b)
5、【明技法】用公式法分解因式的技巧(1)如果是两项式,并且两项异号,除符号外都能写成平方的形式,选用平方差公式进行因式分解.(2)如果是三项式,其中有两平方项,而且这两项的符号还相同,另一项是两个底数积的2倍,选用完全平方公式进行因式分解.【题组过关】1.(2019厦门思明区期中)下列各式中,能用完全平方 公式进行因式分解的是()A.x2-4 B.x2-2x-1 C.x2-4x+4 D.x2+4x+1 C 2.(2019临沂蒙阴期末)下列各式能用平方差公式分 解因式的有 世纪金榜导学号()x2+y2;x2-y2;-x2-y2;-x2+y2;-x2+2xy-y2.A.4个 B.3个 C.2个 D.
6、1个 C 3.(2019黔东南、黔西南、黔南中考)分解因式:9x2-y2=_.4.(2019荆门二模)分解因式(a-b)(a-4b)+ab 的结 果是_.(3x+y)(3x-y)(a-2b)2 考点三 灵活应用多种方法因式分解 【核心突破】【例3】(1)(2019临沂中考)将a3b-ab进行因式分解,正确的是()A.a(a2b-b)B.ab(a-1)2 C.ab(a+1)(a-1)D.ab(a2-1)C(2)(2019南京中考)分解因式(a-b)2+4ab的结果是 _.(a+b)2【明技法】分解因式的一般步骤 一提:即提公因式,看到因式分解的题目,首先看有没有公因式,若有,则先提公因式;若没有
7、,则套用公式.二套:即套用公式,在没有公因式的前提下,套用公式.三检查:因式分解必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止,即要分解彻底.若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、变形、再按上面的步骤进行.【题组过关】1.(2019广安中考)因式分解:3a4-3b4=_ _.2.(2019哈尔滨香坊区期中)把多项式x3y-6x2y+9xy 分解因式的结果是_.3(a2+b2)(a+b)(a-b)xy(x-3)2 3.(2019扬州中考)分解因式:a3b-9ab=_ _.世纪金榜导学号 4.(2019安徽模拟)分解因式2x3-12x2+18x=_ _.ab(a+3)(a-3)2x(x-3)2
8、 考点四 因式分解的应用 【核心突破】【例4】(1)(2018成都中考)已知x+y=0.2,x+3y=1,则 代数式x2+4xy+4y2的值为_.(2)(2018菏泽中考)若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为_.0.36-12【明技法】因式分解在求代数式值中的应用(1)因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入.(2)用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.【题组过关】1.(2019泉州南安期中)如图,长方形的长、宽分别为 a,b,且a比b大5,面积为10,则a2b-ab2的值为()B A.60 B.50 C.25 D.15 2.(2019泰州中考)若2a-3b=-1,则代数式4a2-6ab+3b 的值为()A.-1 B.1 C.2 D.3 B 3.(2019威海文登区期中)已知a,b,c为三角形ABC的 三边,且a4-b4=c2(a2+b2),则三角形ABC为_三 角形.世纪金榜导学号 直角