1、第1讲函数、函数与方程及函数的应用高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.真 题 感 悟1.(2016江苏卷)函数y的定义域是_.解析要使函数有意义，需且仅需32xx20，解得3x1.故函数定义域为3，1.答案3，12.(2016江苏卷)设f(x)是定义在R
2、上且周期为2的函数，在区间1，1)上，f(x)其中aR.若ff，则f(5a)的值是_.解析由已知fffa，fff.又ff，则a，a，f(5a)f(3)f(34)f(1)1.答案3.(2014江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0，3)时，f(x).若函数yf(x)a在区间3，4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是_.解析作出函数yf(x)在3，4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)，观察图象可得0a.答案4.(2015江苏卷)已知函数f(x)|ln x|，g(x)则方程|f(x)g(x)|1实根的个数为_.解析令h(x)f(x
3、)g(x)，则h(x)当1x2时，h(x)2x0，故当1x2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y|h(x)|和y1的图象如图所示.由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4.答案4考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性()用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.()常见判定方法：定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；图象法；复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；导数法.(2)奇偶性：若f(x)是偶函数，那么f(x)f(x)；若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)0；奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函
4、数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有若yf(x)对xR，f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)(a0)恒成立，则yf(x)是周期为2a的周期函数；若yf(x)是偶函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；若yf(x)是奇函数，其图象又关于直线xa对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；若f(xa)f(x)，则yf(x)是周期为2|a|的周期函数.2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、
5、值域、零点时，要注意结合其图象研究.3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.4.函数的零点问题(1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问
6、题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一函数性质的应用【例1】 (1)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为_(从小到大排序).(2)(2016全国卷改编)已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则(xiyi)_.解析(1)由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以af(log0.53)2|log0.53
7、|12log2312，bf(log25)2|log25|12log2514，cf(0)2|0|10，所以cab.(2)由题设得(f(x)f(x)1，点(x，f(x)与点(x，f(x)关于点(0，1)对称，则yf(x)的图象关于点(0，1)对称.又y1，x0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则+=02m.答案(1)cab(2)m探究提高(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练1】 (1)(2015全
8、国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.(2)(2016四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.解析(1)f(x)为偶函数，则ln(x)为奇函数，所以ln(x)ln(x)0，即ln(ax2x2)0，a1.(2)因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(1)f(1)f(1)，即f(1)0，又fff42，从而ff(1)2.答案(1)1(2)2热点二函数图象的应用【例2】 (1)(2016苏北四市调研)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则实数a的取值范围是_.(2)(2015全国卷改编)设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，
9、若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_.解析(1)函数y|f(x)|的图象如图.yax为过原点的一条直线，当a0时，与y|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a0时成立；当a0时，找与y|x22x|(x0)相切的情况，即y2x2，切线方程为y(2x02)(xx0)，由分析可知x00，所以a2，综上，a2，0.(2)设g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)ax0a，因为g(x)ex(2x1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故即所以a1.答案(1)2，0(2)探究提高(1)涉及
10、到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (2016苏、锡、常、镇调研)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，则不等式0，在(，2)和(0，2)上f(x)0时，由0，可得f(x)f(x)2f(x)0，结合图象可知(0，2)符合；当x0时，由0，结合图象可知(2，0)符合.答案(2，0)(0，2)热点三函数与方程问题微题型1函数零点个数的求解【例31】 (2016南京、盐城模拟)函数f(x)4cos2cos2sin x|ln(x1)|的零点个
11、数为_.解析f(x)4cos2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x|ln(x1)|sin 2x|ln(x1)|，令f(x)0，得sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出两个函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.答案2探究提高解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.微题型2由函数的零点(或方程的根)求参数【例32】 (1)(2016南京三模)设函数f
12、(x)g(x)f(x)b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为_.(2)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR，若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是_.解析(1)当f(x)时，f(x)，由f(x)0得x2，且当x2时，f(x)0，f(x)单调递增，当x2时，f(x)0，f(x)单调递减，则当x2时，f(x)有极大值f(2).当x1时，x1.结合图象可得当存在实数b使得g(x)f(x)b恰有3个零点时，1a2.(2)函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同实数根，即直线yb与函数yf(
13、x)f(2x)的图象有4个不同的交点，又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可知，当b2时，直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点，故函数yf(x)g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.答案(1)(2)探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】 (2016泰州调研)设函数f(x)x23x3aex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为_.解析令f(x)0，可得a，
14、令g(x)，则g(x)，令g(x)0，可得x(1，0)，令g(x)0，可得x(，1)(0，)，所以g(x)在(1，0)上单调递增，在(，1)和(0，)上单调递减.由题意知函数yg(x)的图象与直线ya有且仅有一个交点，结合yg(x)及ya的图象可得a(0，e)(3，).答案(0，e)(3，)热点四函数的实际应用问题【例4】 (2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若
15、正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V6226224312(m3).(2)设PO1x，则O1B1，B1C1，S正方形A1B1C1D12(62x2).又由题意可得下面正四棱柱的高为4x，则仓库容积Vx2(62x2)2(62x2)4xx(36x2).由V0得x2或x2(舍去).由实际意义知V在x2(m)时取到最大值，故当PO12(m)时，仓库容积最大.探究提高(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2)
16、对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2016南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于，说明理由.解(1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(2)法一依题意x0.2a，所以P.P不可
17、能大于.法二依题意x0.2a，所以P.假设P，则ka220a25k0.因为k3，所以100(4k2)0，不等式ka220a25k0无解，假设不成立.P不可能大于.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)的定义域时，只考虑x0，忽视ln x0的限制.2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较
18、大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.(2016南通调研)函数f(x)ln x的定义域为_.解析要使函数f(x)ln x有意义，则解得0x1，即函数定义域是(0，1.答案(0，12.(2011江苏卷)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_.解析函数f(x)的定义域为，令t2x1(t0).因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间为.答案3.(2016苏州调研)函数f(x)的值域为_.解
19、析当x0时，y2x(0，1；当x0时，yx21(，1).综上， 该函数的值域为(，1.答案(，14.(2016江苏卷)定义在区间0，3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_.解析在区间0，3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.答案75.(2012江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_.解析因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(1)f(1)a1，又fffa1，联立列成方程组解得a2，b4，所以a3b21210.答案106.已知函数f(x)x3x，对任意的m
20、2，2，f(mx2)f(x)0，f(x)在R上为增函数.又f(x)为奇函数，由f(mx2)f(x)0知，f(mx2)f(x).mx2x，即mxx20，令g(m)mxx2，由m2，2知g(m)0恒成立，可得2x.答案7.已知函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数.若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_.解析根据x表示的意义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点
21、(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.答案8.(2016北京海淀区二模)设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1，1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时无零点.因此a2满足题意.当f(x)
22、2xa，x1有一个零点时， 0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，此时a1, 2a1，因此a0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24
23、a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.11.(2016苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型yx(1x9)，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价.解(1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲
24、线C的方程为yx(1x9)，PMx，所以点P坐标为，直线OB的方程为xy0，则点P到直线xy0的距离为，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米.则两条道路总造价为f(x)5x405(1x9).(2)因为f(x)5，所以f(x)5，令f(x)0，解得x4，列表如下：x(1，4)4(4，9)f(x)0f(x)极小值所以当x4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)530，即当x4时，总造价最低，最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得f(x)555330，当且仅当x4时，等号成立，同样正确.)第2讲不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求
25、，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.真 题 感 悟1.(2015江苏卷)不等式2x2x4的解集为_.解析2x2x422，x2x2，即x2x20，解得1x2.答案x|1x22.(2014江苏卷)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实
26、数m的取值范围是_.解析二次函数f(x)对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则有解得m0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_.(2)(2012江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_.解析(1)由已知得f(0)0，当xx等价于或解得：x5或5x0.(2)由题意知f(x)x2axbb.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x).由f(x)c，得x，又f(x)c的解集为(m，m6)，得26，c9.答案(1)(5，0)(5，)(2)9探究提高解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负
27、也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.【训练1】 已知一元二次不等式f(x)0的解集为_.解析依题意知f(x)0的解为1x，故010x，解得xlglg 2.答案x|xlg 2热点二利用基本不等式求最值微题型1基本不等式的简单应用【例21】 (1)(2016南师附中模拟)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_.(2)已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_.解析(1)由已知得zx23xy4y2，(*)
28、则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.所以当y1时，的最大值为1.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得q2或q1(舍去).4a1，平方得2mn21624，mn6，(mn)(54)，当且仅当，即n2m，亦即m2，n4时取等号.答案(1)1(2)探究提高在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.微题型2基本不等式在实际问题中的应用【例22】 (2016南通调研)如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇.已知O
29、C()km，AOB75，AOC45，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城.设OAx km，OBy km.(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点A，B的位置，使OAB的面积最小.解(1)因为AOC的面积与BOC的面积之和等于AOB的面积，所以x()sin 45y()sin 30xysin 75 ，即x()y()xy，所以y(x2).(2)AOB的面积Sxysin 75xy(x24)84(1).当且仅当x4时取等号，此时y4.故OA4 km，OB4 km时，OAB面积的最小值为4(1) km2.探究提高在利用基本不等式求最值时
30、，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【训练2】 (1)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是_.(2)若直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22x4y10截得的弦长为4，则的最小值是_.解析(1)ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，(2x3y)(1226)8.当且仅当3y2x时取等号.(2)易知圆x2y22x4y10的半径为2，圆心为(1，2)，因为直线2axby20(a0，b0)被圆x2y22
31、x4y10截得的弦长为4，所以直线2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得ab1，所以(ab)24，当且仅当，ab1，即ab时等号成立.答案(1)8(2)4热点三含参不等式恒成立问题微题型1分离参数法解决恒成立问题【例31】 (1)关于x的不等式x1a22a0对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围为_.(2)已知x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围是_.解析(1)设f(x)x，因为x0，所以f(x)x24.又关于x的不等式x1a22a0对x(0，)恒成立，所以a22a14，解得1a3，所以实数a的取值范围为(1，3).(2)要使(xy)
32、2a(xy)10恒成立，则有(xy)21a(xy)，即a(xy)恒成立.由xy3xy，得xy3xy，即(xy)24(xy)120，解得xy6或xy2(舍去).设txy，则t6，(xy)t.设f(t)t，则在t6时，f(t)单调递增，所以f(t)t的最小值为6，所以a，即实数a的取值范围是.答案(1)(1，3)(2)探究提高对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.微题型2函数法解决恒成立问题【例32】 (1)已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为_.
33、(2)已知二次函数f(x)ax2x1对x0，2恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_.解析(1)法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求a的取值范围为3，1.法二设g(x)f(x)a，则g(x)x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3，1.(2)法一函数法.若a0，则对称轴x0，故f(x)在0，2上为增函数，且f
34、(0)1，因此在x0，2上恒有f(x)0成立.若a0，则应有f(2)0，即4a30，a.a0.综上所述，a的取值范围是(0，).法二分离参数法.当x0时，f(x)10成立.当x0时，ax2x10变为a，令g(x).当时，g(x).a，a.又a0，a的取值范围是(0，).答案(1)3，1(2)(0，)探究提高参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练3】 (1)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.(2)已知不等式|a2a|对于x2，6恒成立，则a的取值范围是_.解析(
35、1)因为a2，2，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)xax210，由题意可知解之得xR.(2)设y，y0，故y在x2，6上单调递减，即ymin，故不等式|a2a|对于x2，6恒成立等价于|a2a|恒成立，化简得解得1a2，故a的取值范围是1，2.答案(1)R(2)1，2热点四简单的线性规划问题【例4】 (1)(2016北京卷改编)若x，y满足则2xy的最大值为_.(2)(2016苏北四市调研)设实数n6，若不等式2xm(2x)n80对任意x4，2都成立，则的最小值为_.解析(1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大
36、，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2xy的最大值为2124.(2)因为不等式2xm(2x)n80即为(2mn)x82n，对任意x4，2都成立，所以所以m，n满足的不等式组为所以点(m，n)对应的平面区域如图，的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以，而目标函数，令t，则目标函数即为yt3，其导数y3t20，所以函数yt3在t上递减，故t3时取得最小值.答案(1)4(2)探究提高线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函
37、数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【训练4】 (2016苏、锡、常、镇调研)已知x，y满足且目标函数z2xy的最小值为1，则实数a的值是_.解析依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点B(a，a)时，zmin2aa3a；因为目标函数z2xy的最小值为1，所以3a1，解得a.答案1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在填
38、空题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、填空题1.(2015苏州调
39、研)已知f(x)则不等式f(x2x1)12的解集是_.解析依题意得，函数f(x)是R上的增函数，且f(3)12，因此不等式f(x2x1)12等价于x2x13，即x2x20，由此解得1x2.因此，不等式f(x2x1)12的解集是(1，2).答案(1，2)2.若点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，则mn的最大值是_.解析因为点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，n0，且1，所以，所以，即mn3，所以mn的最大值为3.答案33.(2016苏北四市模拟)已知函数f(x)若f(a)f(a)2f(1)，则实数a的取值范围是_.解析f(a)f(a)2f(1)或即或解得0a1，或1a0.故1a1
40、.答案1，14.已知函数f(x)那么不等式f(x)1的解集为_.解析当x0时，由log3x1可得x3，当x0时，由1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，).答案(，03，)5.(2016南京、盐城模拟)若x，y满足不等式组则的最小值是_.解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，表示原点(0，0)到此区域内的点P(x，y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x2y20的距离.故最小值为.答案6.已知当x0时，2x2mx10恒成立，则m的取值范围为_.解析由2x2mx10，得mx2x21，因为x0，所以m2x.而2x22.当且仅当2x，即x时取等号，所以m2.答案(2，)7.设目标
41、函数zxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为_.解析作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线xy0，显然当直线过点A(k，k)时，目标函数zxy取得最大值，且最大值为kk12，则k6，直线过点B时目标函数zxy取得最小值，点B为直线x2y0与y6的交点，即B(12，6)，所以zmin1266.答案68.(2016泰州调研)已知x0，y0，且1，若x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围为_.解析记tx2y，由不等式恒成立可得m22mtmin.因为1，所以tx2y(x2y)4.而x0，y0，所以24(当且仅当，即x2y时取等号).所以t4448，即tmin8.故m22
42、m8，即(m2)(m4)0.解得4m2.答案(4，2)二、解答题9.(2015苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为(弧度).(1)求关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为，则30(10x)2(10x)，所
43、以(0x10).(2)花坛的面积为(102x2)(5x)(10x)x25x50(0x10).装饰总费用为9(10x)8(10x)17010x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y，令t17x，则y，当且仅当t18时取等号，此时x1，.答：当x1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号.由已知
44、f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.11.(1)解关于x的不等式x22mxm10；(2)解关于x的不等式ax2(2a1)x20.解(1)原不等式对应方程的判别式(2m)24(m1)4(m2m1).当m2m10，即m或m时，由于方程x22mxm10的两根是m，所以原不等式的解集是x|xm，或xm；当0，即m时，不等式的解集为x|xR，且xm；当0，即m时，不等式的解集为R.综上，当m或m时，不等式的解集为x|xm，或xm；当m时，不等式的解集为x|xR，且xm；当m时，不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(ax1)(x2)0.当a0时，原不等式可以化为a(x2)0，根据不等式的
45、性质，这个不等式等价于(x2)0.因为方程(x2)0的两个根分别是2，所以当0a时，2，则原不等式的解集是；当a时，原不等式的解集是；当a时，2，则原不等式的解集是.当a0时，原不等式为(x2)0，解得x2，即原不等式的解集是x|x2.当a0时，原不等式可以化为a(x2)0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x2)0，由于2，故原不等式的解集是.综上，当a0时不等式解集为(2，)；当0a时，不等式解集为；当a时，不等式解集为；当a时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为(2，).第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是
46、B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.真 题 感 悟(2016无锡高三期末)已知函数f(x)ln x(a0).(1)当a2时，求出函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)a对于x0的一切值恒成立，求实数a的取值范围.解(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，).当a2时，函数f(x)ln x，所以f(x)，所以当x(0，e)时，f(x)0，函数f(x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f(x)0，函数f(x)在(
47、e，)上单调递增.(2)由题意知ln xa恒成立.等价于xln xae2ax0在(0，)上恒成立.令g(x)xln xae2ax，则g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1.列表如下：x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)极小值所以g(x)的最小值为g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1，令t(x)xe2ex1(x0)，则t(x)1ex1，令t(x)0，得x1.列表如下：x(0，1)1(1，)t(x)0t(x)极大值所以当a(0，1)时，g(x)的最小值为t(a)t(0)e20，符合题意；当a1，)时，g(x)的最小值为t(a)ae2ea10t(2)，所以a1
48、，2.综上所述，a(0，2.考 点 整 合1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两
49、侧导数异号，而不是f(x)0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者.热点一利用导数研究函数的单调性微题型1求解含参函数的单调区间【例11】 (2016南通调研)设函数f(x)aln x，其中a为常数.(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)由题意知a0
50、时，f(x)，x(0，).此时f(x).可得f(1)，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，).f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减.当a0时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2.由于x10，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(
51、x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当a0时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增.探究提高讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为0、为正、为负，目的是讨论开口方向；(2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解；(3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论两根与定义域的
52、关系，目的是根是否在定义域内.另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根.微题型2已知函数的单调区间求参数范围【例12】 已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由.解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x.所以函数f(x)的单调递增区间是，.(2)因为函数f
53、(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对x(1，1)都成立，即a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10.所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增.所以g(x)g(1)(11).所以a的取值范围是.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立.所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的.故函数
54、f(x)不可能在R上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立.而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上，可知函数f(x)不可能是R上的单调函数.探究提高(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.(2)可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减)，转化为恒成立问题时，常忽视等号这一条件，导致与正确的解
55、法擦肩而过，注意，这里“”一定不能省略.【训练1】 (2016苏北四市调研)已知函数f(x)(ax2x)ln xax2x(aR).(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程(e2.718)；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)当a0时，f(x)xxln x，f(x)ln x，所以f(e)0，f(e)1.所以曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yxe，即xye0.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)(ax2x)(2ax1)ln xax1(2ax1)ln x.当a0时，2ax10，若x(0，1)，则f(x)0，若x(1，)，则f(x)0，所以函数f(x)
56、在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.当0a时，若x(0，1)或x，则f(x)0，若x，则f(x)0，所以函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减.当a时，f(x)0且仅f(1)0，所以函数f(x)在(0，)上单调递增.当a时，若x或x(1，)，则f(x)0，若x，则f(x)0，所以函数f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减.综上，当a0时，函数f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当0a时，函数f(x)的增区间为(0，1)，减区间为.当a时，函数f(x)的增区间为(0，)；当a时，函数f(x)的增区间为，(1，)，减区间为.热点二利用导数研究函数的极值【例2
57、】 (2016苏、锡、常、镇调研)设函数f(x)x2exk(x2ln x)(k为实常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围.解(1)当k1时，函数f(x)(x2ln x)(x0)，则f(x)(x0).当x0时，exx2，理由如下：要使当x0时，exx2，只需使x2ln x，设(x)x2ln x，则(x)1，所以当0x2时，(x)0；当x2时，(x)0，所以(x)x2ln x在x2处取得最小值(2)22ln 20，所以当x0时，x2ln x，所以exx20，所以当0x2时，f(x)0；当x
58、2时，f(x)0，即函数f(x)在(0，2)上为减函数，在(2， )上为增函数，所以f(x)在x2处取得最小值f(2)22ln 2.(2)因为f(x)，当k0时，k0，所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)单调递增，不存在三个极值点，所以k0.令g(x)，得g(x)，则g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在x2处取得最小值为g(2)，且g(4)，于是可得yk与g(x)在(0，4)内有两个不同的交点的条件是k.设yk与g(x)在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，且0x12x24，导函数f(x)及原函数f(x)的变化情况如下：x(0，x1)x1(x1，
59、2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202k0k0kf(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以f(x)在(0，4)上存在三个极值点.即函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点的k的取值范围是.探究提高极值点的个数，一般是使f(x)0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】 设函数f(x)ax32x2xc.(1)当a1，且函数图象过 (0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值
60、点，求a的取值范围.解由题得f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)，有f(0)c1.当a1时，f(x)3x24x1.令f(x)0，解得x或x1；令f(x)0，解得x1.所以函数在和1，)上单调递增，在上单调递减，极小值是f(1)13212111.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f(x)0或f(x)0恒成立.当a0时，f(x)4x1，显然不满足条件；当a 0时，f(x)0或f(x)0恒成立的充要条件是(4)243a10，即1612a0，解得a.综上，a的取值范围为.热点三利用导数研究函数的最值【例3】 (2015南京、盐城模拟)设函数f(x)x3kx2x
61、(kR).(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0，1)时，函数g(x)(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).f(x)0，且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)单调递增.因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明g(x)(f(x)a).由(1)知f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa( 0，2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xx
62、a时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a)，由0，单调递增.所以，由xa(0，2，得0)，讨论h(x)零点的个数.解(1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)0，f(x0)0.即解得x0，a.因此，当a时，x轴为曲线yf(x)的切线.(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上无零点.当x1时，若a，则f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零点；若a，则f(1)0，h
63、(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数.()若a3或a0，则f(x)3x2a在(0，1)上无零点，故f(x)在(0，1)上单调.而f(0)，f(1)a，所以当a3时，f(x)在(0，1)内有一个零点；当a0时，f(x)在(0，1)上没有零点.()若3a0，即a0，f(x)在(0，1)无零点；若f0，即a，则f(x)在(0，1)有唯一零点；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以当a时，f(x)在(0，1)有两个零点；当3或a时，h(x)有一个零点；当a或a时，h(x)有两个零点；当a2；a0，b2；a1，b2.解析令f(x)x3axb，f(x
64、)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，则需f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为.答案二、解答题9.(2016扬州质检)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf
65、(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0，此时函数单调递增；当1xe时，g(x)0，此时函数单调递减.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.10.(2015江苏高考命题原创卷)已知函数f(x)x2aln x1，函数F(x).(1)如果函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a2时，
66、你认为函数y的图象与yF(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.解(1)f(x)x2aln x1的定义域为(0，)，函数f(x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，f(x)2x0在(0，)上恒成立.a2x2在(0，)上恒成立，y2x20在(0，)上恒成立，a0.所求的a的取值范围为(，0.(2)当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.证明如下：当a2时，y，它的定义域为x|x0且x1，F(x)的定义域为0，).当x0且x1时，由F(x)得x22ln xx220.设h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1.当0x1时，h(x)0，此时，h(x)单调递减；当x1时，h(x)
67、0，此时，h(x)单调递增.当x0且x1时，h(x)h(1)0，即h(x)0无实数根.当a2，x0且x1时，F(x)无实数根.当a2时，函数y的图象与yF(x)的图象没有公共点.11.(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x20，则当x(，1)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且b(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点.设a0，因此f(x)在(1，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个
68、零点.若a1，故当x(1，ln(2a)时，f(x)0，因此f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，).(2)证明不妨设x1x2.由(1)知x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.第5讲导数与实际应用及不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求
69、是B级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高.作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题、利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.真 题 感 悟(2014江苏卷)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数.(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立.因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是(，.(3)解令函数g(x)exa(x33x)，则g(x
70、)ex3a(x21).当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0.故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1，当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数.所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1).注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0.当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)
71、0对任意的x(1，e)成立.当a(1，e)时，h(a)0，即a1(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.考 点 整 合1.解决函数的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域，其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.2.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数后转化为
72、函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等式求解.3.常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)的问题转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x).(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造.对原不等式同
73、解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数.(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数.(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和g(x)，利用其最值求解.4.不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)g(x)对一切xa，b恒成立a，b是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xa，b).(2)f(x)g(x)对xa，b能成立a，b与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(
74、xa，b).(3)对x1，x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)对x1a，b，x2a，b使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.热点一导数在实际问题中的应用【例1】 (2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐
75、标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型.(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t)，t5，20.设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，10)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10，
76、20)时，g(t)0，g(t)是增函数.从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.答：当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.探究提高在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实际问题的意义，不符合的解要舍去.【训练1】 某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x0)时，销售量q (x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数).(1
77、)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.解(1)当20x180时，由得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得f(x)当0x20时，f(x)126 000，又f(x)在(0，20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120 000.当20x180时，f(x)9 000x300x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20x180时，f(x)0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大240 000.当x180时，f(x)0.综上，当x80时，总利润取得最
78、大值240 000元.热点二导数与不等式问题微题型1利用导数证明不等式【例21】 设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设
79、函数h(x)xex，则h(x)ex(1x).所以当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1).综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1.探究提高(1)证明f(x)g(x)或f(x)g(x)，可通过构造函数h(x)f(x)g(x)，将上述不等式转化为求证h(x)0或h(x)0，从而利用求h(x)的最小值或最大值来证明不等式.或者，利用f(x)ming(x)max或f(x)maxg(x)min来证明不等式.(2)在证明不等式时，如果不等式较为复杂，则可以通过不等式的性质把原不等式变
80、换为简单的不等式，再进行证明.微题型2利用导数解决不等式恒成立问题【例22】 (1)已知函数f(x)ax1ln x，aR.讨论函数f(x)的单调区间；若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围.(2)设f(x)，若对x1，)，f(x)m(x1)恒成立，求m的取值范围.解(1)在区间(0，)上，f(x)a，当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在区间(0，)上单调递减；当a0时，令f(x)0得x，在区间上，f(x)0，函数f(x)单调递减，在区间上，f(x)0，函数f(x)单调递增.综上所述：当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，)，无单调递增区间；当
81、a0时，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.因为函数f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，解得a1，经检验可知满足题意.由已知f(x)bx2，即x1ln xbx2，即1b对x(0，)恒成立，令g(x)1，则g(x)，易得g(x)在(0，e2上单调递减，在e2，)上单调递增，所以g(x)ming(e2)1，即b1.所以b的取值范围为.(2)f(x)，x1，)，f(x)m(x1)，即ln xm.设g(x)ln xm，即x1，)，g(x)0恒成立，等价于函数g(x)在1，)上的最大值g(x)max0.g(x)m.若m0，g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，即g(x)g(1)0，这与要求
82、的g(x)0矛盾.若m0，方程mx2xm0的判别式14m2.当0，即m时，g(x)0.所以g(x)在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)0，即不等式成立；当0m时，方程mx2xm0的两根分别为x11，x21.当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(1)0，与要求矛盾.综上所述，m.探究提高(1)利用最值法解决恒成立问题的基本思路是：先找到准确范围，再说明“此范围之外”不适合题意(着眼于“恒”字，寻找反例即可).(2)对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的
83、，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.微题型3利用导数解决不等式能成立问题【例23】 (2015南京、盐城模拟)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).若a1，当x1，e时，f(x)0，则f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)1a.若1ae，当x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；当xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数
84、.所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.若ae，当x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值.由(1)知f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2，0时，g(x)0，g(x)为减函数，g(x)ming(0)1，所以e(a1)1，即a，所以a的取值范围为 .探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系
85、存在性问题和恒成立问题容易混淆，它们既有区别又有联系：若g(x)m恒成立，则g(x)maxm；若g(x)m恒成立，则g(x)minm；若g(x)m有解，则g(x)minm；若g(x)m有解，则g(x)maxm.【训练2】 (2016四川卷)设函数f(x)ax2aln x，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)e1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数).解(1)f(x)2ax(x0).当a0时，f(x)0时，由f(x)0，有x.此时，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.(2)令g(x)，s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时，
86、s(x)0，所以s(x)在区间(1，)内单调递增.又由s(1)0，有s(x)0，从而当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立.当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1).当x1时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1，)单调递增.又因为h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立.综上，a.1.不等式恒成立、能成立问题常用解法有：(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采
87、用分离参数转化为函数的最值问题，形如af(x)max或af(x)min.(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合.2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值.(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.3.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题.一、填空题1.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)
88、0，且f(0)0，f0，则不等式f(x)0的解集为_.解析如图所示，根据图象得不等式f(x)0的解集为.答案2.若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_.解析条件可转化为a2ln xx恒成立.设f(x)2ln xx，则f(x)(x0).当x(0，1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.答案(，43.若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是_.解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为
89、(1，).答案(1，)4.(2015全国卷改编)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，所以F(x)在(0，)上单调递减，根据对称性，F(x)在(，0)上单调递增，又f(1)0，f(1)0，数形结合可知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0，1).答案(，1)(0，1)5.已知不等式exxax的解集为P，若0，2P，则实数a的取值范围是_.解析由题意知不等式exxax在x0，2上恒成立.当
90、x0时，显然对任意实数a，该不等式都成立.当x(0，2时，原不等式即a1，令g(x)1，则g(x)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x2时，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)在(0，2上的最小值为g(1)e1，故a的取值范围为(，e1).答案(，e1)6.设函数f(x)sin .若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是_.解析f(x)sin 的极值为，即f(x0)23.又|x0|，xf(x0)23，3m2，解得m2或m2.答案(，2)(2，)7.已知函数f(x)ln xa，若f(x)x2在(1，)上恒成立，则实数a的取值范围是_.解析函数f(x)l
91、n xa，且f(x)x2在(1，)上恒成立，aln xx2，x(1，).令h(x)ln xx2，有h(x)2x.x1，2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案1，)8.(2015南师附中调研)已知函数f(x)x3x23x，直线l：9x2yc0，若当x2，2时，函数yf(x)的图象恒在直线l下方，则c的取值范围是_.解析根据题意知x3x23xx在x2，2上恒成立，则x3x2x，设g(x)x3x2x，则g(x)x22x，则g(x)0恒成立，所以g(x)在2，2上单调递增，所以g(x)maxg(2)3，则c6.答案(，6)二、解答题9.(2016南通调研)
92、已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：x1，x2(，0，f(x1)f(x2).(1)解f(x)x(x2)ex.令f(x)x(x2)ex0，则x12，x20.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(，2)2(2，0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递减区间为(2，0)，单调递增区间为(，2)，(0，).(2)证明由(1)知f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，0)，所以当x(，0时，f(x)最大值f(2).因为当x(，2时，f(x)0，f(0)0，所以当x(，0时，f(x)最小值f(0)0.所以f(x)最大值f
93、(x)最小值.所以对x1，x2(，0，都有f(x1)f(x2)f(x)最大值f(x)最小值.10.如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得解得即9x15.所以x的取值范围是9，15.(
94、2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得yaaxx2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x.由f(x)0解得x0(舍去)或x10或x15，列表如下：x9(9，10)10(10，15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值.故当x10时，可使“环岛”的整体造价最低.11.(2016苏北四市调研)已知函数f(x)ln xx2ax(a为常数).(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0a2时，试判断f(x)的单调性；(3)若对任意的a(1，2)，x01，2，不等式f(x0)mln a恒成立，求实数m的取值范围.解f(x)2xa.(1)由已知得：f(1)0，所以12a0，所以a3.(2)当0a2时，f(x)2xa.因为0a2，所以10，而x0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函数.(3)当a(1，2)时，由(2)知，f(x)在1，2上的最小值为f(1)1a，故问题等价于：对任意的a(1，2)，不等式1amln a恒成立，即m恒成立.记g(a)(1a2)，则g(a).令M(a)aln a1a，则M(a)ln a0，所以M(a)在(1，2)上单调递减，所以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在a(1，2)上单调递减，所以mg(2)log2e，即实数m的取值范围为(，log2e.