1、第二节 椭圆(2)一般地，以1(ab0)为方程的椭圆，具有明显的几何性质：1.范围：_；2.对称性：关于_成轴对称图形，关于_成中心对称图形；xa，a,yb，b坐标轴坐标原点基础梳理3.顶点：椭圆有四个顶点，分别是_，_、_分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于_和_，a是长半轴的长，b是短半轴的长；A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)线段A1A2线段B1B22a 2b4._叫做椭圆的离心率，记为e,0e1.离心率大小对椭圆形状的影响：当e越接近于1时，椭圆_；当e越接近于0时，椭圆_焦距与长轴长的比 ca越扁越圆5.椭圆的第二定义：平面内动点M到一个定点的距离和它
2、到一条定直线的距离的比是常数e(0ee2，又因为椭圆的离心率越小，越接近于圆，所以更接近于圆的是+=1.29x24yca53216x212y12216x212y2.(选修21P33习题6改编)椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为_22解析：由题意可知b=c，所以a2=2c2，所以离心率e=.ca223.(选修21P32练习5改编)椭圆两焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是_90解析：由题意知c=，得a2=2c2，即b=c，所以一焦点与短轴两端点连线的夹角是90.1422ac4.已知椭圆方程1的一条准线方程是y，则实数m的值是_12
3、4xm 29y92解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，所以0m+4b0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.(1)若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；(2)若圆M与y轴相交于A，B两点，且ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程经典例题题型一 椭圆的几何性质22xa22yb分析：根据直线与圆相切的条件求出点M的坐标，代入椭圆方程建立关于离心率的方程，解出离心率；根据图形的几何特征、椭圆的几何性质建立方程求解解：(1)由题意可知，点M的坐标为(c，c)，+=1，即+=1，即+=1，即e2+=1，即e2+=1，22ca22cb22ca222cac22ca2211ac 2111e 221ee即
4、e2-e4+e2=1-e2，即e4-3e2+1=0，e2=2，e=，又e(0,1)，e=.35262 54512512512(2)把x=c代入椭圆方程+=1，得yM=，ABM是边长为2的正三角形，圆M的半径r=2，M到y轴的距离d=.r=，d=c，即c=，=2.又因为a2-b2=c2，所以a2-b2=3，代入得a2-2a-3=0，解得a=3，a=-1(舍去)，b2=2a=6.所求的椭圆方程为+=1.22xa22yb2ba32ba32ba29x26y(2011广东东莞五校联考)如图，椭圆的中心在原点，F为椭圆的左焦点，B为椭圆的一个顶点，过点B作与FB垂直的直线BP交x轴于P点，且椭圆的长半轴长
5、a和短半轴长b是关于x的方程3x23 cx2c20(其中c为半焦距)的两个根求椭圆的离心率变式1132323abcabc 解：依题意，由根与系数的关系得，两式联立，得a2b2c2，又b2a2c2，3a24c20，解得e(直接求出bc，ac亦可)53ca32【例2】已知P是椭圆1(ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点(1)若F1PF2(0)，求证：F1PF2的面积为b2tan ；(2)若存在点P，使F1PF290，求椭圆离心率的取值范围22xa22yb2分析：(1)F1PF2为焦点三角形，设PF1m，PF2n，则mn2a，而SF1PF2PF1PF2sin mnsin，只要将mn用mn表
6、示出来即可(2)若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式来求解12解：(1)证明：如图所示，设PF1m，PF2n，F1PF2的面积为S，则S mnsin.在F1PF2中，(2c)2m2n22mncos，(mn)22mn(1cos)mn2a,1cos 0，mn.由、得Sb2tan .12221bcos2(2)当F1PF2=90时，由(1)得4c2=4a2-2mn，又mn =a2(当且仅当m=n时取等号)，4a2-4c22a2，e ，e的取值范围为.22mn22ca12222 12已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在一点P，使，则该椭
7、圆的离心率的取值范围为_变式2121csin PF F12asin PF F22xa22yb解析：因为在PF1F2中，由正弦定理得，则又由已知，得，即PF1PF2，由椭圆的定义得PF1PF22a，则PF2PF22a，解得PF2，由椭圆的几何性质知PF2ac，即0，e22e10，解得e 1，又e(0,1)，该椭圆的离心率e(1,1)2aPF1cPFcaca22aca22aca2221csin PF F12asin PF F2【例3】(2010辽宁)设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2.(1)求椭圆
8、C的焦距；(2)如果2 ，求椭圆C的方程题型二 直线与椭圆的位置关系22xa22yb2AF2F B分析：(1)利用F1到l的距离和l的倾斜角为60，求C的焦距(2)利用2转化为A、B两点纵坐标间的关系，利用两方程的联立来求解解：(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c2 ，故c2.所以椭圆C的焦距为4.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y10，直线l的方程为y(x2)联立得(3a2b2)y24 b2y3b40.解得y1，y2.因为2 ，所以y12y2.即2 ，解得a3.而a2b24，所以b.故椭圆C的方程为1.3332222321yxxyab32223223baab
9、 2223223baab 2223223baab 2223223baab 29x25y52AF2F B(2010山东改编)如图，已知椭圆1(ab0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：xy2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：2.变式3-122xa22yb21,22211k23k(1)因为椭圆过点，e，所以1，.又a2b2c2.所以a，b1，c1.故所求椭圆方程为y21.21,22221a212bca22222x(2)证明：方法一：由于F1
10、(1,0)、F2(1,0)，PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上，所以k1k2，k10，k20.又直线PF1，PF2的方程分别为yk1(x1)，yk2(x1)，联立方程解得所以P(，)又点P在直线xy2上，所以2，因此2k1k23k1k20，即2，结论成立122112212kkxkkk kykk 1221kkkk12212k kkk1212212kkk kkk11k23k方法二：设P(x0，y0)，则k1，k2，因为点P不在x轴上，所以y00.又x0y02，所以2.因此结论成立001yx 001yx 11k23k001xy0031xy 0042xy002yy【例4】如图，有一
11、块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域分析：建立直角坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式题型三 椭圆的实际应用解：依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图)，则半椭圆方程为1(y0)，化简得y2 (0 xr)S(2x2r)22(xr)，由S0和C、D不重合，得其定义域为x|0 xAB=2，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆以AB所在直线为x轴，线段A
12、B的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为+=1(y0)，易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时，面积S=2 km2.24x23y3【例5】如图，已知椭圆1内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使MP2MF的值最小，求M点的坐标题型四 椭圆第二定义及其应用24x23y 分析：利用椭圆的第二定义将点M到右焦点的距离转化为到右准线的距离，再利用图形直观地解答 12MFMM 1212解：如图，设M在右准线l上的射影为M，由椭圆方程可知a=2，b=，c=1，e=，根据椭圆的第二定义，有=，即MF=MM，3MP+2MF=M
13、P+MM，显然，P，M，M三点共线时，MP+MM有最小值过P作准线的垂线y=-1，由方程组解得M ，即M的坐标为.2234121xyy 2 6,132 6,13(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60；直线AF2的方程为x2，由图形可知，F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设P(x，y)为F1AF2的角平分线所在直线上任意一点，则有|x2|，若3x4y65x10，则x2y80，其斜率为负数，不合题意，舍去；3x4y65x10，即2xy10，F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10.【例】若椭圆的离心率e，则k的值为_易错警示221
14、89xyk12ca12错解 由已知a2k8，b29，又e，e2，解得k4.22ca222aba18kk14错解分析忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况。(1)若焦点在x轴上，即k89时，a2k8，b29，e2，解得k4.(2)若焦点在y轴上，即0k8b0)由e，得，a2c，b2a2c23c2，1，将点A(2,3)代入，得1，解得c2，椭圆E的方程为1.(2)由(1)知F1(2,0)，F2(2,0)，直线AF1的方程为y(x2)，即3x4y60；直线AF2的方程为x2，由图形可知，F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数，设P(x，y)为F1AF2的角平分线所在直线上任意一点
15、，则有|x2|，若3x4y65x10，则x2y80，其斜率为负数，不合题意，舍去；3x4y65x10，即2xy10，F1AF2的角平分线所在直线的方程为2xy10.34|346|5xy2.(2010湖南)为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8 km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)考察范围到A、B两点的距离之和不超过10 km的区域(1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段P1P2是冰川的部分边界线(不考虑其他边界)，当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第
16、一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？知识准备：1.椭圆的定义及标准方程；2.直线方程的两点式和一般式；3.点到直线的距离公式；4.等比数列的求和公式解：(1)设边界曲线上点P的坐标为(x，y)，则由|PA|PB|10知，点P在以A、B为焦点，长轴长为2a10的椭圆上，此时短半轴长b3，所以考察区域边界曲线(如图)的方程为1.2254225x29y(2)易知过点P1，P2的直线方程为4x3y470，点A到直线P1P2的距离为d，设经过n年，点A恰好在冰川边界线上，利用等比数列的求和公式得，解得n5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上22|1647|43 3150.2 212 1n 315