1、 练案56第七讲抛物线A组基础巩固一、单选题1(2020河北邯郸质检)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|6，则抛物线C的方程为(D)Ay22xBy24xCy28xDy216x解析设抛物线的准线为l，作MM直线l于点M，交y轴于M，由抛物线的定义可得：MMMF6，结合xM2可知：MM624，即4，2p16，据此可知抛物线的方程为：y216x.选D.2(2019山东济宁期末)抛物线y4x2的准线方程是(A)AyByCx1Dx1解析抛物线标准方程为x2y，p，准线方程为y，即y，故选A.3(2020吉林长春模拟)已知F是抛物线y24x的焦点，则过F作倾斜
2、角为60的直线分别交抛物线于A，B(A在x轴上方)两点，则的值为(C)AB2C3D4解析由题意知F(1,0)，AB：y(x1)，由，得3x210x30，解得x13，x2，3，故选C.4(2019湖北荆州模拟)从抛物线y24x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(C)ABCD解析设P(x0，y0)，由抛物线y24x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|x019，解得x08，故P点坐标为(8,4)，所以kPF.5(2019山东泰安模拟)以F(0，)(p0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2y22相交于M，N两点，若MNF为等边
3、三角形，则抛物线C的标准方程为(C)Ay22xBy24xCx24yDx22y解析由题意，y代入双曲线x2y22，可得x.MNF为等边三角形，p.p0，p2，抛物线C的方程为x24y，故选C.6(2020福建龙岩质检)已知点A在圆(x2)2y21上，点B在抛物线y28x上，则|AB|的最小值为(A)A1B2C3D4解析由题得圆(x2)2y21的圆心为(2,0)，半径为1.抛物线y28x的焦点C(2,0)，则|BC|x2，|BC|min2，|AB|min211，故选A.7(2020广东肇庆统测)抛物线方程为x24y，动点P的坐标为(1，t)，若过P点可以作直线与抛物线交于A，B两点，且点P是线段A
4、B的中点，则直线AB的斜率为(A)ABC2D2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)，所以k，故选A.8(2019山东青岛模拟)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为4，则p的值为(D)AB1CD2解析设过点A与抛物线相切的直线方程为ykx.由得x22pkxp20.4k2p24p20，可得k1.则Q(p，)，P(p，)，所以APQ的面积S2pp4，解得p2.9(2018课标卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则(D
5、)A5B6C7D8解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)由已知可得直线的方程为y(x2)，即xy2，由得y26y80.由根与系数的关系可得y1y26，y1y28，x1x2(y1y2)45，x1x24，F(1,0)，(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y245188，故选D.二、多选题10(2020山东枣庄期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QMPF于M，过Q作QNPE交线段EP的延长线于点N，则(ABD)A|PE|PF|B|
6、PF|QF|C|PN|MF|D|PN|KF|解析由抛物线定义知A正确；FQPQPNQPF，|PF|QF|，B正确；由题意QKEN为矩形，|PN|NE|PE|QK|FQ|KF|，D正确；显然当PFx轴时，F、M重合，显然|PN|MF|，C错，故选ABD.11(2020山东烟台期末)已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则(ABC)A若x1x26，则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M(0,1)，则|PM|PP1|D过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条解析对于选项A，因为
7、p2，所以x1x22|PQ|，则|PQ|8，故A正确；对于选项B，设N为PQ中点，设点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得NN1，故B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF|，故C正确；对于选项D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为ykx1，联立，可得k2x2(2k4)x10，令0，则k1，所以直线yx1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误；故选ABC.三、填空题12(2019邢台模拟)已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是
8、_5_.解析抛物线x24y的焦点为F(0,1)，准线为y1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所|MA|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5115.13(2019黑龙江模拟)设抛物线y216x的焦点为F，经过点P(1,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，且2，则|AF|2|BF|_15_.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1,0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程y216x，得y16x1，y16x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x2
9、3，解得x2，x12.|AF|2|BF|x142(x24)242(4)15.四、解答题14.(2020湖北宜昌部分示范高中协作体联考)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1y2的值及直线AB的斜率解析(1)设抛物线解析式为y22px，把(1,2)的坐标代入得p2，抛物线解析式为y24x，准线方程为x1.(2)直线PA和PB的倾斜角互补，kPAkPB0，0，0，y1y24，kAB1.15(2020广东梅州质检)已知F为抛物线T：x24y的焦点，
10、直线l：ykx2与T相交于A，B两点(1)若k1，求|FA|FB|的值；(2)点C(3，2)，若CFACFB，求直线l的方程解析由已知可得F(0,1)，设A(x1，)，B(x2，)，由，得，x24kx80，x1x24k，x1x28.|FA|FB|112.(1)当k1时，由得|FA|FB|10.(2)由题意可知，(x1，1)，(x2，1)，(3，3)CFACFBcos，cos，又|FA|1，|FB|1，则，即，整理得42(x1x2)x1x20，解得k，所以，直线l的方程为3x2y40.B组能力提升1(2019河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可
11、近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(D)A mB mC mD m解析建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线的解析式为x22py，p0，抛物线过点(6，5)，3610p，可得p，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m，故选D.2(2019安徽模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为(C)ABCD2解析焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以B的
12、横坐标为，纵坐标为，SAOB1(2).3(2020云南师大附中月考)如图所示，点F是抛物线y28x的焦点，点A，B分别在抛物线y28x及圆(x2)2y216的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则FAB的周长的取值范围是(C)A(2,6)B(6,8)C(8,12)D(10,14)解析抛物线的准线l：x2，焦点F(2,0)，由抛物线定义可得|AF|xA2，圆(x2)2y216的圆心为(2,0)，半径为4，三角形FAB的周长为|AF|AB|BF|(xA2)(xBxA)46xB，由抛物线y28x及圆(x2)2y216可得交点的横坐标为2，则xB(2,6)，所以6xB(8,12)，故选C.4(202
13、0益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为(C)A5B6CD解析如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1x114，所以x13，又x1x21，所以x2，所以|AB|x1x2p32.故选C.另解：因为，|AF|4，所以|BF|，所以|AB|AF|BF|4.故选C.5(2020山东泰安期末)已知抛物线y
14、22px(p0)的焦点为F(4,0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p_8_，的最小值为_6_.解析抛物线y22px(p0)的焦点为F(4,0)，p8，抛物线的方程为y216x，设直线l的方程为xmy4，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y216my640，y1y216m，y1y264，由抛物线的定义得，4()121，当且仅当，即|NF|6时，等号成立6(2019河北省衡水中学模拟)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线yx3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点解析(1)根据题意知，42py0，因为|AF|2，所以y02.联立解的y01，p2.所以E的方程为x24y.(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)由题意，可设直线BM的方程为ykxb，代入x24y，得x24kx4b0.根与系数的关系得x1x24k，x1x24b.由MPx轴及点P在直线yx3上，得P(x2，x23)，则由A，P，B三点共线，得，整理，得(k1)x1x2(2k4)x1(b1)x22b60，将代入上式并整理，得(2x1)(2kb3)0.由点B的任意性，得2kb30，所以ykx32kk(x2)3.即直线BM恒过定点(2,3)
