1、20202021学年第一学期高二第二次月考数学试题（理科） 【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数的虚部是A4BC D32直线的倾斜角为ABCD3圆心为，半径为的圆的方程为AB CD4设复数满足:，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5. 圆在点处的切线方程为AB CD6. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图是A菱形 B矩形 C正方形 D一般的平行四边形7设直线:，:，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不
2、充分也不必要条件8下列命题是真命题的是A命题“若，则”的否命题是：“若，则”B若命题，则C“”是函数“在区间上为增函数”的充分不必要条件D若命题若复数满足,则;命题若复数满足,则,则为真 9九章算术是我国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱. 已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是A B C D10设圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是A B C D11已知直线恒过点, 直线上有一动点,点的坐标为，当取得最小值时，点的坐标为ABC D12已知球是正三棱锥的外接球，, 点在线段上，且
3、, 过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13用反证法证明命题“可以被整除，那么中至少有一个能被整除”，那么假设的内容是 14若直线与平行，则之间的距离为 15设复数满足，则的最大值为 16过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于 三、解答题：本大题共70分.17(本题满分10分) 写出满足下列条件的直线的方程(1) 经过点，且与直线垂直；(2) 经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍18(本题满分12分) (1) 请用分析法证明：；(2) 请用数学归纳法证明：19(本题满分12分)如
4、图，在四棱锥中，平面，为的中点，为的中点(1) 求证：平面；(2) 求二面角的正弦值 20(本题满分12分) 已知圆经过点和, 且圆心在直线上(1) 求圆的标准方程；(2) 直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程21(本题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，,.(1) 求证：平面平面；(2) 若，试判断棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22(本题满分12分) 在平面直角坐标系中，已知动点与两个定点,的距离之比为，记动点的运动轨迹为曲线.(1) 求曲线的方程；(2) 设过点的直线交曲线于两点，问在轴上是否存在定点,使得轴平
5、分?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由20202021学年第一学期高二第二次月考理科数学参考答案1-12 DBADC ACCDB BA13. 都不能被5整除 14. 15. 16. 17 解: (1)因为直线的斜率为，1分 所以所求直线的斜率为，2分 所以所求直线的方程为，4分 即.5分(2) 当直线过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，6分 此时直线的方程为.7分 当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，8分此时直线的方程为.9分综上可得，满足条件的直线方程为或.10分18. 证明：(1)要证：1分 只需证：2分 只需证： 只需证：4分 只需证： 只需证：5分 而显然成立
6、，所以原不等式得证.6分(2)当时，左边=1，右边=1，等式成立.7分 假设当时等式成立，即 ,8分则当时，该等式成立11分根据,原等式成立.12分19. 解：(1)证明：取PA的中点G,连接BG,GE, 因为G、E分别为PA、PD的中点，所以GE/AD,2分又BC/AD, 所以GE/BC, 所以四边形GECB为平行四边形，所以CE/BG,4分 又CE平面PAB, BG平面PAB，5分所以CE/平面PAB.6分(2)解：以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,7分则P(0,0,2), C(1,1,0), E(0,1,1), F(,0,1), ,
7、设平面PCE与平面CEF的法向量分别为和，则, , 可取，10分所以，11分设二面角为，则，所以二面角的正弦值为.12分20. 解：(1)因为,所以直线AB的斜率为,AB中点坐标为所以线段AB的垂直平分线的方程为：，即2分联立 ，得 所以圆心，4分则半径长为,所以圆C的方程为.6分(2) 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心C到直线的距离为1，直线被圆C截得的弦长为，符合题意.8分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，又，所以， 10分 所以直线的方程为.11分综上所述，直线的方程为或.12分21. 解：(1),2分又,5分又,6分(2)由(1)知且,又，以A为坐标原点，分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,7分，,则A(0,0,0), P(1,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0),设平面PBC的法向量为，则， 得，9分设,则,10分，解得 或(舍去)所以存在点E,使得时，直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.12分22. 解：(1)设,则，2分化简得：，所以曲线C的方程为.4分(2)当直线轴时，轴平分;5分当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，6分，得， ，8分若x轴平分,则,9分，10分，11分所以当时，总成立，即x轴平分.12分
