1、荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40分）1已知集合，则下列结论正确的是（ ）ABCD2据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）ABCD3已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，
2、5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A035B025C020D0154如图1是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示你能根据图象判断下列说法错误的是（ ）图2的建议为减少运营成本图2的建议可能是提高票价图3的建议为减少运营成本图3的建议可能是提
3、高票价ABCD5设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：）A9B10C11D1262020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F，6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（ ）A36种B48种C56种D72种7已知正方形ABCD的边长为1，P为平面ABCD内一点，则
4、的最小值为（ ）A1B2CD8已知函数是定义域为的奇函数，且当时，则满足的实数的取值范围是（ ）ABCD二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9已知双曲线的焦点与抛物线的焦点之间的距离为2，且C的离心率为，则（ ）AC的渐近线方程为BC的标准方程为CC的顶点到渐近线的距离为D曲线经过C的一个焦点10已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A函数的最小正周期为B函数的最大值为1C函数在上单调递增D将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为11设，则不列等式中正确的是（ ）ABCD12已知已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分
5、的分数转换区间为，若使标准分服从正态分布，（参考数据：；则（ ）A这次考试标准分超过180分的约有450人B这次考试标准分在内的人数约为997C甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D三、填空题（本大题共4小题，共20分）13已知过抛物线焦点F，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且 ，则直线的斜率为_14如图所示的圆中，已知圆心角，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D，若CD的长为a，则弧ACB与弦AB所围成的弓形ACB的面积为_15设函数的定义域为，满足，且当时，当 时，函数的极大值点从小到大依次记为， ，并记相应的极大值为，则数列前9项的和为_16如图，在直角梯形ABCD中， ，
6、点E是线段CD上异于点C，D的动点，于点F，将沿EF折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为_四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知等比数列中，且，公比（1）求；（2）设的前项和为，求证18（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为（1）求 ；（2）若，求的值19（12分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：123452
7、.42.74.16.47.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）（若，则线性相关程度很髙，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：参考数据：，（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立某位顾客购买了1050元的产品、该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回200元现金，还是选择参加四次抽
8、奖？说明理由20（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，E为PD中点，（1）求证：平面平面PCD；（2）若二面角的平面角大小满足，求线段AB的长21（12分）已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点如果函数存在不动点，求实数的取值范围22（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证为定值荆州中学2020年下第一次月考高三年级数学试题答案1-8 CDBD
9、 CDDC 9 ABD 10BD 11 ABC 12BC13 1415 1617（1）由等比数列中，且，公比得：或（舍去），所以（2）证明：因为，所以，因为在上为减函数，且恒成立，所以当，时，所以18（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，即再利用正弦定理可得，因为，（2），由正弦定理，再根据余弦定理，19（1）由题知，则故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；（2）顾客选择参加两次抽奖，设他获得100元现金奖励为事件A，；设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的
10、均值为由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖20（1）取AD的中点O，侧面PAD为正三角形，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，平面ABCD，如图所示，以O为原点，建立空间直角坐标系，设，则，即，DP、平面PCD，且，平面PCD，又平面AEC，平面平面PCD（2）由（1）可知，平面PCD的法向量为，设平面APC的法向量为，则，即，令，则，由题可知，二面角的平面角为锐角，解得或（舍负），线段AB的长为21（1）当时，当时，即，当时，即，的单调递增区间为，的单调递减区间为（2），存在不动点，方程有实数根，即有解，令，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，有不动点，的范围为22（1）设椭圆C的方程为，则由题意知即椭圆C的方程为（2）设A、B、M点的坐标分别为，又易知F点的坐标为显然直线存在的斜率，设直线的斜率为，则直线的方程是将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得，又，将各点坐标代入得，.
