1、甘肃省民乐县第一中学2021届高三数学上学期第二次诊断考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合A，再根据交集的定义即可求出.【详解】，.故选：A.2. 复数=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】复数.故选：B3. 下列命题为真命题的是A. 若为真命题，则为真命题B. “”是“”的充分不必要条件C. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”D. 命题p：，则：，【答案】B【解析】试题分析：A项中真命题则至少1个为真，
2、为真命题需都为真；B项中由可得成立，反之不正确，所以“”是“”的充分不必要条件；C项命题“若，则”的否命题为：“若，则”；D项命题p：，则：，考点：四种命题及否定点评：命题：若则成立，则是的充分条件，是的必要条件，命题的否定需要将条件和结论分别否定，特称命题的否定是全称命题4. 若角终边上一点的坐标为,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义求出的值，再根据两角和的余弦公式求解即可.【详解】因为角终边上一点的坐标为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正弦公式，属于基础题.5. 已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中
3、含项的系数是（ ）A. -84B. -14C. 14D. 84【答案】A【解析】【分析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数.【详解】因为二项式的系数之和等于128，所以，解得，所以二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中含项的系数为，故选：A【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.6. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先比较的大小，再判断分段函数的单调性，根据单调性比较函数值的大小即可得解.【详解】由于，又在上单调递增，所以，故选：A【点睛】
4、本题考查了对数的运算，考查了指数函数的单调性，考查了分段函数的单调性的应用，属于基础题.7. 已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复合函数法可得知内层函数在上为减函数，且在上恒成立，由此列出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】函数的内层函数为，外层函数为，由于函数在上为减函数，且外层函数为增函数，则内层函数在上为减函数，得，且在上恒成立，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选B.【点睛】本题考查复合型对数函数的单调性问题，在利用复合函数法判断内层函数和外层函数的单调性时，还应注意真数在定义域上要恒为正数，考查分析问题和解决问题的
5、能力，属于中等题.8. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积s可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，代入面积公式，配方即可求出最大值.【详解】由，则，所以，当时，取得最大值，此时.故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.9. 函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：令，则，所以
6、图像关于y轴对称，不选B,C；又当时，单调递减函数，所以选D.考点：函数图像与性质10. 一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东85，海轮以每小时30千米的速度沿南偏东40方向直线航行，20分钟后到达B处，在B处观察灯塔C，其方向是北偏东65，则B，C之间的距离是（ ）A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图形，在ABC中，利用正弦定理即可求解.【详解】解析：A，B，C的位置如图所示，C在A的南偏东85的位置，EAC=85.B在A的南偏东40的位置，故EAB=40，CAB=45.C在B的北偏东65的位置，DBC=65.ABD=40，ABC=
7、105，即ACB=30.在ABC中，（千米），故千米.故选：C【点睛】本题考查了正弦定理在航海中的应用，属于基础题.11. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由求得，可得函数的一个减区间为，再由，求得的范围【详解】函数在上单调递减，设函数的周期，再由函数满足，求得，取，可得，故函数的一个减区间为，再由，求得，故选：【点睛】函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间12. 已知是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分
8、析：构造函数，则，故函数在上单调递增，又因为，所以成立，当且仅当，因此不等式的解集为，故选B.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查.导数与函数单调性、函数与不等式，属难题.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，通常通过构造函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最值或极值、特殊点的值，从而得到不等式，解出相应的参数值或求出不等式的解集.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 由曲线和直线所围成的面积为_【答案】【解析】【分析】联立方程求出交点坐标，利用定积分的方法即可求出.【详解】联立，解得或，设曲线与直线围成的面积为，则.故答案为：.14. 在
9、中，已知，则的面积是_【答案】或；【解析】【分析】利用余弦定理可得a,再利用三角形的面积计算公式即可得结果.【详解】因，所以由余弦定理可得:,化为.解得或8.或.故答案为或.【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式,属于基础题. 余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则_【答案】【解析】【分析】根据题中函数奇偶性，得出是以为周期的函数，分别求出和，即可得出结果.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且；又为偶
10、函数，所以，所以，因此，所以，即函数是以为周期的函数，所以，又，所以，因此.故答案为：.16. 元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有_种不同取法（用数字作答）【答案】1680【解析】 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.三、解答题（共70分）17. 已知全集，集合，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出集合A，B，再根据交集补集定义即可
11、求出；（2）由可得，讨论和两种情况列式求出.【详解】（1）当时，集合，（2），当时，即，满足；当时，解得；综上所述，的取值范围为【点睛】易错点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数，注意在求解时，需注意讨论的情况，这是往往容易漏掉的地方.18. 已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若的内角，的对边分别为，且满足，求的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求值域，（2）先根据两角和正弦公式展开化简 得，由正弦定理得，再根据余弦定理得，代人值.试题解析：（1） ，.（2）由题意可得 有， ，化简可得：，由正弦
12、定理可得：，余弦定理可得： ，所以.19. 已知函数（1）将函数的图象向下平移1个单位，再向左平移2个单位后得到函数，设函数的反函数为，求的解析式；（2）对于定义在上的函数，若不等式恒成立，求的取值范围（注：此问中的与（1）中的解析式相同）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数的平移，先得到，再由反函数的概念，即可求出结果；（2）先由题中条件，根据的定义域，求出，将原不等式分离参数，化为，再由换元法求出的最大值，即可得出结果.【详解】（1）将函数的图象向下平移1个单位得到，再向左平移个单位得到，因为指数函数的反函数是对数函数，故；（2）由于的定义域为，对于来说，由，得到由不等式
13、恒成立，化简得令，因为和在上都单调递增，所以函数在上为增函数，因此；所以，为使原不等式恒成立，只需即的取值范围为.【点睛】思路点睛：由对数型不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，将原式化为参数大于等于（或小于等于）某个式子恒成立的形式，再利用函数的性质，求出分离后所得新函数的最值，即可求解.20. 某工厂，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：（1）根据已知数据，列出产品等级与生产线的列联表，并判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？（2）分别计算两条生产线抽样产品获
14、利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（2）1.6；2.36；生产线的获利更稳定.【解析】【分析】（1）由题中数据完成列联表，求出卡方值，和6.635比较即可判断；（2）根据方差公式求出方差即可判断.【详解】（1）根据已知数据可建立列联表如下：一等级非一等级合计生产线2080100生产线3565100合计55145200所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关（2）生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：（元）获利方差为生产线
15、随机抽取的100件产品获利的平均数为：（元）获利方差为所以，则生产线的获利更稳定【点睛】本题考查独立性检验和利用方差判断数据的稳定性，在计算的时候，注意数据的正确性以及计算公式的熟悉性.21. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）.【解析】分析】（1）求出函数的定义域，然后求出，令，且，根据函数的单调性可得到不等式和的解集，进而得到所求的单调区间；（2）分离参数后可得当时，不等式恒成立令，设，结合导数求得后可得的范围【详解】（1）由题意得函数的定义域为，令，且，先证明：当，构造函数，其中.，当时，此时函数
16、单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，所以，对任意的，.所以，在为单调递减函数，当时， ，则，故单调递增； 当时， ，则，故单调递减所以，函数的递增区间为，递减区间为；（2）由题意得，当时，不等式恒成立等价于：当时，不等式恒成立令，设，则.由（1）知当时，在单调递减，因此，实数的取值范围为【点睛】（1）利用导数解决函数问题时，若求导数后无法判断导函数的符合，则可采用构造新的函数，通过再次求导数得到所求（2）解决恒成立问题时，若参数能够分离，则通过分离参数后转化为求函数的最值的问题处理，求函数的最值时一般还要通过导数的知识求解22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点
17、，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最大值【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）根据参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可得的直角坐标方程；（2）由（1）先设的参数方程，根据点到直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值.【详解】（1）由（为参数），因为，且，所以的普通方程为由，得即直线的直角坐标方程为得；（2）由（1）可设的参数方程为（为参数，），则上的点到的距离为当时，取得最大值6，故上的点到距离的最大值为3【点睛】思路点睛：求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解.需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以及三角函数的性质等.