1、双曲线及其标准方程A组学业达标1动圆与圆x2y21和x2y28x120都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A双曲线的一支B圆C抛物线 D双曲线解析：设动圆半径为r，圆心为O，x2y21的圆心为O1，圆x2y28x120的圆心为O2，由题意得|OO1|r1，|OO2|r2，|OO2|OO1|r2r119是方程1表示双曲线的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件解析：当k9时，9k0，方程表示双曲线当k0，k49是方程1表示双曲线的充分不必要条件答案：B4椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2C1或 D1解析：依题意：解得a1.答案：D5设P为双曲
2、线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为()A6 B12C12 D24解析：由已知易得2a2，由双曲线的定义及已知条件得，|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4.由|F1F2|2c2.由余弦定理得cosF1PF20.三角形为直角三角形SPF1F26412.答案：C6双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)，N(2，1)，则双曲线的标准方程是_解析：设双曲线方程为1(a0，b0)又点M(3,2)、N(2，1)在双曲线上，答案：17已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值
3、为_解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.答案：8求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解析：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.9已知双曲线过点(3
4、，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解析：(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1(a0，b0)，则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，而cosMF2F12.又c2k1|k|22k31，c1.答案：A11已知双曲线C的中心在原点O，焦点F(2，0)，点A为左支上一点
5、，满足|OA|OF|且|AF|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：如图，由题意可得c2，设右焦点为F，由|OA|OF|OF|知，AFFFAO，OFAOAF，所以AFFOFAFAOOAF.由AFFOFAFAOOAF180知，FAOOAF90，即AFAF.在RtAFF中，由勾股定理，得|AF|8，由双曲线的定义，得|AF|AF|2a844，从而a2，得a24，于是b2c2a216，所以双曲线的方程为1.故选C.答案：C12已知双曲线C：y21的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为()A. B5C.
6、 D4解析：c2，F2(2,0)又点P的横坐标为2，PQx轴由y21，得y，故|PF2|.|PQ|.又P，Q在双曲线的右支上，|PF1|PF2|2，|QF1|QF2|2.|PF1|QF1|2a，lPF1Q|PF1|QF1|PQ|.答案：A13已知双曲线1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为_解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|PF1|10，所以|PF2|22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|PF2|10，所以|PF2|2.答案：22或214已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解析：已知双曲
7、线1，由c2a2b2，得c216925，c5.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意知b225a2，故所求双曲线方程可写为1.点P在所求双曲线上，1，化简得4a4129a21250，解得a21或a2.当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，a21，b224，所求双曲线的标准方程为x21.15已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程解析：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，则MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义，知mn2a8，又m2n2(2c)280，由得mn8，mn4|F1F2|h，h.(2)设所求双曲线C的方程为1(416)，由于双曲线C过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)，所求双曲线C的方程为1.