1、13 推理案例赏析学习目标：1.了解和体会推理案例的启示 2.了解推理在数学命题发展中的作用 3.会利用合情推理和演绎推理进行简单的推理 课前自主学案 数学命题推理有合情推理和演绎推理，_和_是常用的合情推理从推理形式上看，_是由部分到整体、个别到一般的推理，_是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，_的结论不一定正确，有待于进一步证明，_在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确温故夯基归纳推理类比推理演绎推理合情推理归纳推理类比推理知新益能1合情推理的作用 合情推理是富于创造性的_推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有_、_、
2、_的作用2演绎推理的作用 演绎推理是形式化程度较高的_推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了_，而且可以对猜想作出“判决”和_，从而为调控探索活动提供依据 或然提出猜想发现结论提供思路必然前提证明问题探究1在数学考试中，甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似，于是他就用相同的方法来解决考试题，你能说出他的想法用的是什么推理吗？提示：类比推理 2合情推理的结论不一定正确，我们为什么还要学习合情推理？提示：合情推理具有发现新知识和探索真理的功能，在数学学习中有预测答案、探索解题思路的作用对于较复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳、类比预测结论，从而
3、找到解决问题的途径，利用类比的方法，可以找到新知识与已有知识的相似之处、不同之处，便于理解新的知识，掌握新的知识 课堂互动讲练 合情推理的应用 合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比合情推理得出的结论要进行证明，这样可靠性才能得到保证 例1(本题满分14分)如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条
4、线段，将圆最多分割成11部分.那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：在圆内画线段；在圆内画一、二、三、四条线段，所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的个数 解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值特点进行归纳猜想【规范解答】设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分.2 分法一：(1)f(1)112，g(1)212122；f(2)422，g(2)4222
5、22；f(3)932，g(3)732322；f(4)1642，g(4)1142422；6 分所以 n5 时，f(5)25，g(5)5252216.8 分(2)根据题意猜测：圆内两两相交的 n(n2)条线段，彼此最多分割为 f(n)n2 条线段，将圆最多分割为 g(n)n2n22部分.14 分法二：(1)求 f(n)同法一，6 分g(2)g(1)2，g(3)g(2)3，g(4)g(3)4，g(5)g(4)5，g(5)g(4)511516.8 分(2)由(1)归纳猜测 g(n)g(n1)n，累加得 g(n)g(1)234n.g(n)(123n)1nn121n2n22.14 分【名师点评】在几何中随
6、着点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，分析时递推关系的寻找是重点变式训练1 一个平面内的n条直线最多能把平面分成几个区域？解：设(n1)条直线把平面分成an1块，现在我们再添加第n条直线，它与前面(n1)条直线相交可得到(n1)个交点，这(n1)个交点将第n条直线分成n段，每段将其穿过的平面一分为二，这样就比原来多增加了n个区域，于是得到递推公式：anan1n.在上式中分别令 n1,2，n，得 n 个等式：a111，a2a12，anan1n.把它们加起来，得到 an1(12n)1nn12n2n22.因此一个平面内的 n 条直线最多能把平面分成n2
7、n22个区域演绎推理的应用演绎推理在数学命题的证明中是常用的推理方法，它是必然推理，是以对某一数学问题或数学对象的一般判断为前提，作出关于该类问题的一些特殊情况的判断的思维形式，是从一般到特殊的推理只要前提条件正确，推理过程无误，结论必然正确，其中推理过程尤为重要 例2用三段论写出下列演绎推理(1)正方形的对角线互相垂直；(2)满足2a2a1a3的三个数a1，a2，a3成等差数列【思路点拨】证明中应用三段论常常是省略大前提的，要揭示证明的逻辑过程就要还原三段论的结构，而关键是抓住结论成立的根源大前提与小前提【解】(1)菱形的对角线互相垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)正方形的对角线互相垂
8、直(结论)(2)如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的差都相等，那么这个数列是等差数列，(大前提)满足2a2a1a3的三个数a1，a2，a3显然有a2a1a3a2，(小前提)满足2a2a1a3的三个数a1，a2，a3成等差数列(结论)【名师点评】三段论的关键是找出大前提，小前提，然后作出结论变式训练2 已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an的前n项和Sn的最大值 解：(1)等差数列的通项公式为ana1(n1)d，(大前提)a21，a55，(小前提)a1d1，a14d5.(结论)解得a13，d2.等差数列的通项公式为ana1(n1)d，(大前提)本题中的
9、等差数列中a13，d2，(小前提)an3(n1)(2)2n5.(结论)(2)等差数列中，Snna1nn12d，(大前提)本题的等差数列中 a13，d2，(小前提)Sn3nn1n2(2)n24n.(结论)Sn(n2)24，当 n2 时，Sn 取得最大值 4.合情推理与演绎推理的综合应用 通过合情推理(归纳推理)得到一般的结论，然后加以证明，实际上缺少证明过程的猜想是不完整的这也恰好说明了合情推理是提出猜想，提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想，判断猜想的正确性故我们解题时绝大多数都是通过两者结合的模式来完成的例3已知Sn1234(1)n1n.(1)计算S15，S31，S46的值；(2)求Sn.
10、【思路点拨】计算S15，S31，S46，猜出Sn然后证明【解】(1)S1512341314158，S31123429303116，S461234394041424344454623.(2)归纳：由(1)可知，若 n2k(kN*)，则 Snn2；若 n2k1(kN*)，则 Snn12.故有猜想 Snn2，n2k，n12，n2k1(kN*)下面证明：若 n2k(kN*)，则有 Sn(12)(34)(56)(n1)n，上式共有n2个括号，且每个括号内的运算结果均为1，所以 Snn2.若 n2k1(kN*)，则有 Sn1(32)(54)(76)n(n1)，上式共有n12 个括号，且每个括号内的运算结果
11、均为 1，所以 Snn121n12.综上可知，Snn2，n2k，n12，n2k1(kN*)【名师点评】本题是合情推理与演绎推理协同作战的一个范例先根据对特殊事例的研究，发现规律，归纳猜想一般性结论但所猜结论的正确性又需要经由演绎推理给予严格意义上的证明变式训练3 求质数p，使p10与p14仍为质数 解：先取若干质数作试验：p2时，p1012，p1416，不对；p3时，p1013，p1417，对；p5时，p1015，p1419，不对；p7时，p1017，p1421，不对；p11时，p1021，p1425，不对；p13时，p1023，p1427，不对 归纳猜想：仅p3为所求质数 下面用演绎法来给予证明：若p3k1(kN*)，则p143k153(k5)为合数；若p3k2(kN*)，则p103k123(k4)也为合数 因此，仅当p3k时，有可能使p10与p14仍为质数 3k中只有一个质数3，所以所求质数p3.方法感悟1合情推理的特点是从特殊到一般或由特殊到特殊，结论不一定正确；演绎推理的特点是从一般到特殊，只要前提和推理形式正确，结论一定正确 2演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备条件；归纳以演绎为指导，演绎给归纳提供理论依据因此归纳和演绎是互相渗透、互相补充的，是辩证的统一在实践中通常总是把两种推理结合使用，由归纳获得确定结果后，再给予演绎证明