1、2.1.4 数乘向量学习目标 1.掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义 2掌握数乘向量的运算律 3了解向量线性运算性质及其几何意义 课前自主学案 温故夯基 1平行四边形法则适用于_向量求和，而_适用于任意向量求和 2实数运算满足乘法对于加法的分配律，即(ab)_，其中，a，bR.3实数乘法满足结合律，即(a)_，其中，a，bR.两个不共线三角形法则ab()a知新益能 1实数与向量的积(1)定义：实数与向量a的积是一个_，记作_.(2)它的长度与方向规定如下：|a|_；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向任意 向量a|a|2实数与向量的积的运算律 设、R，则：(
2、1)(a)_；(2)()a_；(3)(ab)_.3向量的线性运算 向量的_、减法和 _的综合运算，通常叫做向量的线性运算()aaaab加法数乘向量思考感悟1数乘向量与数乘数的积有何不同？提示：数乘向量a仍是向量，既有大小，又有方向，与向量a同方向或反方向，即aa；而实数的乘积仍是实数，只有大小，没有方向 2实数与向量可以进行加减法运算吗？提示：不可以如a，a是无法运算的 课堂互动讲练 考点突破 向量数乘运算的概念对于数乘运算，要把握好方向，任意实数与任意向量a的乘积a仍是向量，另外应弄清数乘向量的模之间的关系 例1已知 a、b 是两个非零向量，判断下列各说法是否正确，并说明理由(1)2a 与
3、a 是共线向量，且2a 的模是 a 的模的两倍；(2)3a 与 5a 的方向相同，且 3a 的模是 5a 的模的35；(3)2a 与 2a 是一对相反向量；(4)ab 与(ba)是一对相反向量【思路点拨】根据数乘向量与相反向量的定义即可判断【解】(1)正确，20，2a 与 a 方向相反，两向量共线又|2a|2|a|，(1)正确(2)正确30，3a 与 a 方向相同，且|3a|3|a|；50，5a 与 a 方向相同，且|5a|5|a|.3a 与 5a 方向相同，且 3a 的模是 5a 的模的35.(3)正确按照相反向量的定义可以判断(4)错误法一：因为(ba)与ba是一对相反向量，而ab与ba是
4、一对相反向量，故ab与(ba)为相等向量 法二：(ba)baab，ab与(ba)为相等向量【点评】首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度 变式训练1 试判断下列说法的正误，并说明理由(1)若a0，则0；(2)若非零向量a，b满足|ab|a|b|，0，则a与b同向；(3)对于实数m和向量a，b，若mamb，则ab；(4)对于实数m、n和向量a，若mana，则mn.解：(1)错误a0，则0或a0.(2)错误由|ab|a|b|知a与b反向 由0知与同号，所以a与b反向(3)错误当m0时，虽有0a0b0，但a与b不一定相等(4)错误当a
5、0时，虽有m0 n0 0，但m与n不一定相等 向量的线性运算可类比实数、代数式运算，但要注意它们的意义的差别(1)化简：8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(mn)(ab)(mn)(ab)(2)设x是未知向量，解方程5(xa)3(xb)0；解方程(xa)(ax2b)0.向量的线性运算例2【思路点拨】根据向量加、减、数乘的运算法则和运算性质即可得到答案【解】(1)原式16a8b8c6a12b6c4a2c(1664)a(812)b(862)c 6a4b.原式(mn)a(mn)b(mn)a(mn)b 2(mn)b.(2)原式可化为：5x5a3x3b0,8x5a3b，x58a38b.原式可化为：
6、xaax2b0,2x2a2b0，xab.【点评】(1)向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段(2)向量方程的解法可类比于代数方程的解法，解题过程中应注意向量线性运算的综合应用，特别是不应忽视符号问题 变式训练 2(1)化简234a3b13b146a7b；(2)设向量 a3i2j，b2ij，求13ab a23b(2ba)；(3)设 x、y 是未知向量，a，b 是已知向量，解方程组12xyax12yb解：(1)原式234a3b13b32a74b23432 a31374 b2352a1112b5
7、3a1118b.(2)原式13aba23b2ba1311 a1232 b53a53b53(3i2j)53(2ij)5103 i103 53 j53i5j.(3)把第一个方程的2 倍与第二个方程相加，得32y2ab，从而 y43a23b.代入原来的第二个方程，得 x1243a23b b，移项并化简，得 x23a43b.x23a43by43a23b.数乘向量在平面几何中的应用数乘向量的主要应用是将平面几何问题和实际问题转化为向量问题，通过向量的运算来解决已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点求证：EF 12(AB DC)例3【思路点拨】本题主要考查向量法在平面几何中的应
8、用，利用向量的线性运算，将EF 转化为含AB、DC 的和即可【证明】取以点 A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图E 为 AD 的中点，AE 12AD.F 是 BC 的中点，AF 12(AB AC)又AC AD DC，AF 12(AB AD DC)12(AB DC)12AD.EF AF AE 12(AB DC)12AD 12AD12(AB DC)【点评】向量线性运算几何意义应用中的常见结论：图形结论表示 ab，ab 两向量的有向线段恰为同一平行四边形的两条对角线AB AC 2ADa|a|表示与 a 同向的单位向量变式训练 3 如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD，M、N 分
9、别是 DC 和 AB 的中点，若AB a，AD b，试用 a，b 表示BC 和MN.解：法一：连接 CN(图略)ANDC，且 ANDC12AB，四边形 ANCD 为平行四边形CN AD b.CN NB BC 0，BC NB CN b12a，MN CN CM CN 12AN 14ab.法二：在梯形 ABCD 中，有AB BC CD DA 0，即 aBC 12a(b)0，可得BC b12a，在四边形 ADMN 中，有AD DM MN NA 0，即 b14aMN 12a 0，可得MN 14ab.1向量数乘的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似，只是向量数乘的分配律由于因子的不同，可分为()aa a和分配律(ab)ab.方法感悟 2几个重要结论(1)设 G 是ABC 的重心，则有GA GB GC 0，反之也成立(2)设 G 是ABC 的重心，对于平面上任意一点 O，有OG 13(OA OB OC)(3)在ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，则有AE 12(AB AC)，BF 12(BA BC)，CD12()CA CB.