2020-2021学年高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课时素养评价（含解析）北师大版选修2-2.doc

1、课时素养评价十导数的加法与减法法则(20分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列结论不正确的是()A.若y=3，则y=0B.若f(x)=3x+1，则f(1)=3C.若y=-+x，则y=-+1D.若y=sin x+cos x，则y=cos x+sin x【解析】选D.D项，因为y=sin x+cos x，所以y=(sin x)+(cos x)=cos x-sin x.2.已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1，a+2)处切线的斜率为8，则a等于()A.9B.6C.-9D.-6【解析】选D.y=4x3+2ax，由导数的几何意义知在点(-1，a+2)处的切线斜率k=-4-2a=8，解得

2、a=-6.3.函数y=sin x+ex的图像上一点(0，1)处的切线的斜率为()A.1B.2C.3D.0【解析】选B.因为函数y=f(x)=sin x+ex的导数为y=cos x+ex，所以f(0)=cos 0+e0=2.所以函数y=sin x+ex的图像上一点(0，1)处的切线的斜率为2.4.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)=2xf(e)+ln x(e为自然对数的底数)，则f(e)等于()A.B.eC.-D.-e【解析】选C.由f(x)=2xf(e)+ln x，得f(x)=2f(e)+，则f(e)=2f(e)+f(e)=-.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020全

3、国卷)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.【解析】设切线的切点坐标为(x0，y0)，y=ln x+x+1，y=+1，y=+1=2，x0=1，y0=2，所以切点坐标为(1，2)，所求的切线方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.答案：y=2x6.已知直线l是曲线y=x3+x+1的倾斜角最小的切线，则l的方程为_.【解析】由导数的运算法则可知y=x2+1，且x2+11.由直线的倾斜角与斜率的关系可知，倾斜角最小的直线的斜率是1，此时x=0.将x=0代入曲线方程，可得y=1，所以直线方程为y-1=1(x-0)，化简得x-y+1=0.答案：x-y+1=0三、解答题(每小题

4、10分，共20分)7.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4，求经过点A(2，-2)的曲线f(x)的切线方程.【解析】设经过点A(2，-2)的曲线的切线的切点为P(x0，-4+5x0-4).由题意知，f(x)=3x2-8x+5，所以f(x0) =3-8x0+5，所以过点A(2，-2)的切线方程为y+2=(3-8x0+5)(x-2).将切点P(x0，-4+5x0-4)的坐标代入，得-4+5x0-4+2=(3-8x0+5)(x0-2)，整理得-5+8x0-4=0.由(-1)-(5-8x0+3)=0，得(-4x0+4)(x0-1)=0，即(x0-2)2(x0-1)=0，解得x0=1或2.将x0=1

5、或2分别代入切线方程y+2=(3-8x0+5)(x-2)，得y+2=0或y+2=x-2.所以经过点A(2，-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.8.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a，f(2)=-b，其中常数a，bR.求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1，所以f(x)=3x2+2ax+b.令x=1，得f(1)=3+2a+b，又f(1)=2a，所以3+2a+b=2a，解得b=-3.令x=2，得f(2)=12+4a+b，又f(2)=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-.则f(x)=

6、x3-x2-3x+1，从而f(1)=-.又f(1)=2=-3，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-=-3(x-1)，即6x+2y-1=0.(15分钟30分)1.(5分)曲线y=ex-ln x在点(1，e)处的切线方程为()A.(1-e)x-y+1=0B.(1-e)x-y-1=0C.(e-1)x-y+1=0D.(e-1)x-y-1=0【解析】选C.记f(x)=ex-ln x，则f(x)=e-，所以曲线y=ex-ln x在点(1，e)处的切线斜率为f(1)=e-=e-1，所以曲线y=ex-ln x在点(1，e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1)，整理得(e-1)x-y+

7、1=0.2.(5分)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为()A.4B.-C.2D.-【解析】选A.依题意得f(x)=g(x)+2x，f(1)=g(1)+2=4.3.(5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a=_.【解析】易知点(1，a)在曲线y=ax2-ln x上，y=2ax-，所以f(1)=2a-1=0，所以a=.答案：4.(5分)已知函数f(x)=-x3+6x2-9x+8，则过点(0，0)可作曲线y=f(x)的切线的条数为_.【解析】因为点(0，0)不在

8、函数y=f(x)的图像上，所以点(0，0)不是切点.设切点为P(x0，-+6-9x0+8)，由f(x)=-x3+6x2-9x+8，可得f(x)=-3x2+12x-9，则f(x0)=-3+12x0-9，所以-3+12x0-9=，解得x0=-1或x0=2，故切线有2条.答案：25.(10分)已知向量a=，b=，令f(x)=ab，是否存在实数x0，使f(x)+f(x)=0(其中f(x)是f(x)的导函数)？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.【解析】f(x)=ab=2cos sin+tantan=2cos +=2sin cos +2 cos2-1=sin x+cos x，所以f(x)=cos

9、x-sin x.因为f(x)+f(x)=0，所以sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0，解得x=.但当x=时，tan无意义，故不存在满足条件的实数x.1.若曲线y=ex在x=0处的切线，也是y=ln x+b的切线，则b=()A.-1B.1C.2D.e【解析】选C.函数y=ex的导数为y=ex，曲线y=ex在x=0处的切线斜率为k=e0=1，则曲线y=ex在x=0处的切线方程为y-1=x；函数y=ln x+b的导数为y=，设切点为(m，n)，则=1，解得m=1，n=2，即有2=ln 1+b，解得b=2.2.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切

10、线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.【解析】(1)由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时，y=，所以f(2)=，又f(x)=a+，且f(2)=，由，得解得故f(x)=x-.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y=1+知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，即y-=(x-x0).令x=0得y=-，从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.