1、无锡市2012年普通高中高三数学模拟试卷（江阴） 题号一二总分1-14151617181920得分核分人注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分一.填空题（14570分）1 已知是虚数单位，复数，则虚部为 2某地有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装安全救助报警系统，调查结果如下表所示：外来户原住户已安装6035未安装4560则该小区已安装安全救助报警系统的户数估计有 户.3已知、，并且 , 为坐标原点，则的最小值为：。4设满足，则的取值范围是5已知正四面体棱长为1，则其在平面内的投影面积最大值是 。6平面直角坐标系中，已知、，为原点，等腰底边与轴垂直，过点的直
2、线与围成的区域有公共点，则直线与的交点保持在该区域内部的概率为： 。7.给输入0，输入1,则下列伪代码程序输出的结果为Read x, yWhile y3y Print yEnd while 8函数f(x)的值域为R，则a的取值范围是.9已知，为与中的较小者，设，则=_10已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是，则双曲线离心率的范围是 11.给出下列四个命题中： 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；与不共面的四点距离都相等的平面共有个。正四棱锥侧面为锐角三角形；椭圆中，.离心率e趋向于，则椭圆形状趋向于扁长。其中所有真命题的序号是 . .
3、12已知函数在区间内，既有极大也有极小值，则实数的取值范围是 13已知数列中，对于任意，若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，求。14已知函数，对于均能在区间内找到两个不同的，使，则实数的值是 .二、解答题（90分）15已知是的三个内角，且满足，设的最大值为（）求的大小；（）当时，求的值16、如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，ABBP，M、N分别为AC、PD的中点求证：(1) MN平面ABP；(2) 平面ABP平面APC的充要条件是BPPC. 17.(本题满分14分)某企业在减员增效活动中对部分员工实行强制下岗，规定下岗员工在第一年可领取在职员工收入百分之百，之后每年所领取的比
4、例只有去年的，根据企业规划师预测，减员之后，该企业的利润增加可使得在职员工的收入得到提高，若当年的年收入a万元，之后每年将增长ka万元。当k=时，到第n年下岗员工可从该企业获得总收入为多少？某位下岗员工恰好在第m年在该企业所得比去年少，求m的最大值及此时k的取值范围?18已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D.(1) 求椭圆方程；(2) 点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为M，过点D作M的切线l，求直线l的方程；ABCxyO(3) 过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由。19已知数列是以为公差
5、的等差数列，数列是以为公比的等比数列.若数列的前项的和为，且，求整数的值；在的条件下，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；若，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.20（本题满分16分）已知函数，（1）若对于定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（2）设有两个极值点，且，求证：（3）设，若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.理科附加题(满分40分)21【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内做答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.A（选修41：几何证明选讲选做）如图，AB
6、为O的直径，BC切O于B，AC交O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是O的切线OABPECB（选修42：矩阵与变换）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 C（选修44：坐标系与参数方程）求直线（t为参数）被圆（ 为参数）截得的弦长D（选修45：不等式选讲）若关于的不等式的解集为R，求实数 的取值范围.【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内做答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.22某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培
7、训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训.（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；（II）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列和数学期望.23已知数列是正数组成的数列，其前n项和为，对于一切均有与2的等差中项等于与2的等比中项.（1）计算并由此猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.一填空题11 2 9500. 3 42,+5 6 7. 2,4 . (，1)（1，2）9 10e 11. 12. 13. 9 14. 2二解答题15解：（）由题设及正弦定理知，即由余弦定理知，2分4
8、分因为在上单调递减，所以的最大值为6分（）解：设，8分由（）及题设知由2+2得，10分又因为，所以，即14分16证明：（1）连接，由于四边形为矩形，则必过点 （1分） 又点是的中点，则， （2分）面 面 面 （4分）（2）充分性：由“BPPC.”“平面ABP平面APC” ,面，面 面 (6分) 面 .（7分）又,是面内两条相交直线面 面 (9分) 面面 . (10分)必要性：由“平面ABP平面APC” “BPPC.” 过作于平面ABP平面APC, 面面 面 面 .(12分)由上已证 所以面, .(14分)17 设下岗员工第n年从该企业收入为an万元，则据题意an=()n-11+(n-1)a 2
9、分设Sn= a1+a2+ an则由错位相减法可得：Sn=6-(n+6)()na 到第n年下岗员工可从该企业获得收入6-(n+6)()na万元。5分令bn=an+1-an= an=()n 1+nka- ()n-11+(n-1)ka=(3-n)k-1a7分据题意当nm-1时，bn0即(3-n)k-10；当n=m-1时，bn0即(4-m)k-10； 10分当m4时，式总成立，即从第4年开始下岗员工总是从该企业所得变少；m最大值=4； 12分将m=4代入式得n3时,(3-n)k-10恒成立；k0(3-n)k-1最小值=k-10k1 m的最大值为4，此时 k1。14分18(1)，则c=2, 又，得 所求
10、椭圆方程为 4（2）M,M: 5 直线l斜率不存在时， 直线l斜率存在时，设为，解得直线l为或 10（3）显然，两直线斜率存在, 设AP： 代入椭圆方程，得，解得点12 同理得直线PQ： 14 令x=0，得，直线PQ过定点 1619. 由题意知，所以由，得，解得，又为整数，所以=2.假设数列中存在一项，满足，因为， (*)又 ，所以，此与 (*)式矛盾.所以，这样的项不存在.由，得，则. 又，从而.因为，所以，又，故.又，且是的约数，所以是正整数，且.对于数列中任一项（这里只要讨论的情形），有 ，由于是正整数，所以一定是数列中的项.20解：（1）， 1分设， 2分当时，当时， 4分（2） （）
11、5分解法1：，且（）6分（）8分设 ， 即10分解法2：，且 （）6分8分由的极值点可得10分（3），所以在上为增函数， 所以 ，12分设（），有在恒成立，时，则，所以在递减，此时不符合；13分 时，在递减，此时不符合；14分时，若，则在区间）上递减，此时不符合； 15分综上得，即实数的取值范围为 16分理科附加题答案21、OABCPE1234A. 证明：如图，连结OP、BP. A B是O的直径，APB=90. 又CE=BE，EP=EB. 3=1. OP=OB，4=2. BC切O于点B，1+2=90. 3+4=90. 又OP为O的半径， PE是O的切线.B（1）由条件得矩阵，它的特征值为和，对应的特征向量为及；（2），椭圆在的作用下的新曲线的方程为C解：把直线方程化为普通方程为3分将圆化为普通方程为6分圆心O到直线的距离，弦长所以直线被圆截得的弦长为10分D. 解: 3分7分.10分22解：（I）恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率 3分 （II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3.；5分随机变量X的分布列是X0123P 7分X的数学期望 10分23. 解：（1）由得可求得，3分由此猜想的通项公式.4分（2）证明：当时，等式成立；5分假设当时，等式成立，即，6分当时，等式也成立.9分由可得成立.10分