1、第二十二讲 图形的相似与位似 考点一 平行线分线段成比例【主干必备】1.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所 截,所得_成比例.对应线段 2.平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边 的直线截其他两边(或两边的延长线),所得_ _成比例.对应 线段【微点警示】(1)注意对应性:如图,ABCDEF,则可得 等多个比例式,其对应关系 可简述为:ACBDCEDF，上上 下下，下下 上上.上上 下下，等全全 全全CEDF ACBD CEDFACBD AEBF AEBF，(2)注意辅助线:为了充分利用平行线分线段成比例定理及其推论,在已知线段比值的情况下往往过关键点作某一线段的平行线.【
2、核心突破】例1(2018梧州中考)如图,AGGD=41,BDDC=23,则AEEC的值是()A.32 B.43 C.65 D.85 D 【明技法】应用平行线分线段成比例解决问题的技巧(1)若已知条件中有平行线,求两条线段的比,可直接应用平行线分线段成比例定理求解.(2)若已知条件中无平行线,但告知线段的比,可先通过作平行线创造应用定理的条件.【题组过关】1.(2019杭州中考)如图,在ABC中,点D,E分别在AB 和AC上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接 AM交DE于点N,则()C ADANBDMNA.B.ANAEMNCEDNNEDNNEC.D.BMMCMCBM2.(20
3、19淮安中考)如图,l1l2l3,直线a,b与l1,l2,l3分 别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,则 EF=_.世纪金榜导学号 4 考点二 相似三角形的判定与性质【主干必备】判 定 判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的 延长线)相交,所构成的三角形与原_相似.判定2:三边_的两个三角形相似.判定3:两边_且_的两个三 角形相似.判定4:两角_的两个三角形相似.三角形 成比例 成比例 夹角相等 分别相等 性 质 性质1:相似三角形的对应角_,对应边的比_.性质2:相似三角形周长的比等于_ _.性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平
4、分线的比等于_.性质4:相似三角形面积的比等于相似比的 _.相等 相等 相似 比 相似比 平方 【微点警示】(1)根据条件快选判定:有平行线一般用判定1,网格中三角形相似一般用判定2或判定3,有公共角、对顶角或圆中的三角形一般用判定4.(2)注意面积特殊之处:相似三角形对应线段比、周长比都等于相似比,唯独面积比等于相似比的平方.【核心突破】命题角度1:相似三角形的判定 例2(2018临安中考)如图,小正方形的边长均为1,则 下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是()B 命题角度2:相似三角形的性质 例3(2019常德中考)如图,在等腰三 角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均 相似,
5、其中最小的三角形面积为1,ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是()A.20 B.22 C.24 D.26 D 命题角度3:相似三角形的判定与性质 例4(2019凉山州中考)如图,ABD=BCD=90,DB平分ADC,过点B作BMCD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证:BD2=ADCD.(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.【自主解答】(1)DB平分ADC,ADB=CDB,且ABD=BCD=90,ABDBCD,BD2=ADCD.(2)略 ADBDBDCD【明技法】1.判定三角形相似的“五个基本思路”(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角,可
6、再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例.(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等,或找底和腰对应成比例.2.相似三角形性质的三个应用(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数.(2)利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系,建立方程求出未知线段的长或解决与比例式(等积式)有关的证明问题.(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,周长比等于相似比求三角形的面积或周长.【题组过关】1.(2019上海崇明区模拟)如图,如果BAD=CA
7、E,那 么添加下列一个条件后,仍不能确定ABCADE的是 ()C A.BD BCAEDABDEABACC DADBCADAE2.(2019巴中中考)如图ABCD,F为BC中点,延长AD至 E,使DEAD=13,连接EF交DC于点G,则SDEGSCFG=()A.23 B.32 C.94 D.49 D 3.(2019自贡中考)如图,在RtABC中,ACB=90,AB=10,BC=6,CDAB,ABC的平分线BD交AC于点E,DE=.世纪金榜导学号 9554.(易错警示题)如图,ACB=ADC=90,AC=,AD=2.当这两个直角三角形相似时,AB的长为_.633 2或考点三 相似三角形的实际应用【
8、主干必备】应用相似三角形解决实际问题的一般步骤:(1)画图:根据实际问题情境,画出几何图形.(2)判定:判定几何图形中有哪些三角形相似,必要时通过作辅助线构造出相似三角形.(3)性质:运用相似三角形的性质得到包含已知线段和未知线段的比例式.(4)结论:通过解方程得到未知线段(或图形周长、面积),结合所求写出实际问题答案.【核心突破】例5(2018陕西中考)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A
9、共线.已知:CBAD,EDAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.【思路点拨】由BCDE,可得 ,构建方程即可 解决问题.BCABDEAD【自主解答】BCDE,ABCADE,AB=17(m),经检验:AB=17是分式方程的解.答:河宽AB的长为17 m.BCAB1ABDEAD1.5AB8.5，【明技法】运用相似三角形解决实际问题的一般步骤 1.由实际问题抽象出几何图形.2.根据几何图形判定得出相似三角形.3.根据相似三角形的性质得到方程.4.解方程求出有关线段长度.5.写出实际问题的答案.【题组过关】1.(2019毕节中考
10、)如图,在一块斜边长30 cm的直角 三角形木板(RtACB)上截取一个正方形CDEF,点D在 边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AFAC=13,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为 ()A.100 cm2 B.150 cm2 C.170 cm2 D.200 cm2 A 2.(生活情境题)如图,王明同学用 自制的直角三角形纸板DEF测量树 的高度AB,他调整自己的位置,设 法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已 知纸板的两条边DF=50 cm,EF=30 cm,测得边DF离地面 的高度AC=1.5 m,CD=20 m,则树高AB为_.16.5 m 3.(
11、2019西安莲湖区模拟)如图,阳光通 过窗口照到某个房间内,竖直窗框AB在地 面上留下的影子长度DE=1.8 m,已知点E 到窗下墙角的距离CE=3.9 m,窗框底边离地面的距离 BC=1.4 m,试求窗框AB的长.世纪金榜导学号【解析】连接AB,由于阳光是平行光线,即AEBD,所以AEC=BDC.又因为C是公共角,所以AECBDC,从而有 .又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,ED=1.8 m,BC=1.4 m,于是有 ,解得AB=1.2 m.答:窗框AB的长为1.2 m.ACECBCDCAB 1.43.91.43.9 1.8考点四 位似【主干必备】定义 两个图形不仅是相
12、似图形,而且每组对 应点连线都经过_,对应 边_(或在同一直线上),这两个图形叫做位似图形,这个点叫做 位似中心 同一点 互相平行 性质 1.位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离之比等于_.2.在平面直角坐标系中,如果以原点 为位似中心,相似比为k,那么位似图 形上的对应点的坐标的比等于_ _ 相似比 k 或-k 【微点警示】(1)注意位似和相似的关系:位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在图形外,也可能在图形内或图形上.(3)注意关于原点的位似:在平面直角坐标系中,一个图形关于原点的位似图形有两个,一个同象限,一个异象限.【核心突破
13、】例6(2019滨州中考)在平面直角坐标系中,ABO三个 顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原点O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的 ,得到CDO,则点A的对应点C的坐标是_.12 (-1,2)或(1,-2)【明技法】根据关于原点的位似变化求点的坐标的要点(1)先明确已知点的坐标及相似比.(2)区分原图形与位似图形是同侧还是异侧.(3)分别把横、纵坐标与相似比(或相似比的相反数)相乘.【题组过关】1.(2019河池中考)如图,以点O为位似中心,将OAB 放大后得到OCD,OA=2,AC=3,则 =_.ABCD252.(2019巴中中考)ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.世纪金榜导学号(1)以点C为位似中心,作出ABC的位似图形A1B1C,使其位似比为12.且A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.(2)作出ABC绕点C顺时针旋转90后的图形A2B2C.(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长.略