1、数列的函数特性 (20分钟35分)1.一给定函数y=f(x)的图像在下列图中,并且对任意a1(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列an满足an+1an,则该函数的图像是()【解析】选A.因为an+1=f(an),an+1an,所以f(an)an,即f(x)x.2.(2020西安高一检测)若不等式+a-2 019对任意nN*恒成立,则最小的整数a=()A.2 018B.2 019C.2 020D.2 021【解题指南】构造数列an=+,分析的单调性,将问题转化为a-2 019,从而求解出a的取值范围.【解析】选C.设an=+,所以an+1=+,所以an+1-an=+-=-=-an+1
2、,所以是单调递减数列,所以=a1=+=,所以2 019+,aZ,所以amin=2 020.3.已知数列an,an=-2n2+n,若该数列是递减数列,则实数的取值范围是()A.(-,3B.(-,4C.(-,5)D.(-,6)【解析】选D.依题意,an+1-an=-2(2n+1)+0,即2(2n+1)对任意的nN+恒成立.注意到当nN+时,2(2n+1)的最小值是6,因此6,即的取值范围是(-,6).4.对于函数y=g(x),部分x与y的对应关系如表:x123456y247518数列xn满足:x1=2,且对于任意nN+,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图像上,则x1+x2+x2 015=
3、()A.4 054B.5 046C.5 075D.6 047【解题指南】由题意易得数列是周期为4的周期数列,可得x1+x2+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3,代值计算可得.【解析】选D.因为数列xn满足x1=2,且对任意nN+,点(xn,xn+1)都在函数y=g(x)的图像上,所以xn+1=g(xn),所以由题中表格可得x1=2,x2=g(x1)=4,x3=g(x2)=5,x4=g(x3)=1,x5=g(x4)=2,所以数列是周期为4的周期数列,故x1+x2+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503(2+4+5+1)+2+4+5=
4、6 047.5.已知数列an,an=,则数列an中的最小项是第项.【解析】an=+,令3n-160,得n.又因为f(n)=an在上单调递减,且nN+,所以当n=5时,an取最小值.答案:56.在数列an中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:(1)这个数列共有几项为负?(2)这个数列从第几项开始递增?(3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.【解析】(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当an0时,0n0时,即2n-70,解得n,故从第4项开始数列an递增.(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,当n=4时
5、,an取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36.【补偿训练】已知函数f(x)=2x-2-x,数列an满足f(log2an)=-2n.(1)求数列an的通项公式.(2)证明:数列an是递减数列.【解析】(1)因为f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,所以-=-2n,所以an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n.因为an0,所以an=-n,nN+.(2)=0,所以an+1an,所以数列an是递减数列.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列an的通项公式为an=n+,若对任意nN+,都有ana3,则实数k的取值范围为()A.6,12B.
6、(6,12)C.5,12D.(5,12)【解析】选A.由已知n+3+对任意nN+恒成立,所以k3-n,即k3-n,当n4时,k3n,所以k12;当n=1时,k3;当n=2时,k6,以上三式都成立,所以取交集得6k12.2.已知数列an的通项公式为an=,下列表述正确的是()A.最大项为0,最小项为-B.最大项为0,最小项不存在C.最大项不存在,最小项为-D.最大项为0,最小项为-【解析】选A.令t=,则an=f(t)=t(t-1),0t1,对称轴t=.又因为n为整数,则n=3时,an取到最小项为-,n=1时,取到最大项为0.3.(2020佛山高一检测)下列叙述正确的是()A.1,3,5,7与7
7、,5,3,1是相同的数列B.0,1,0,1,是常数列C.数列0,1,2,3,的通项an=nD.数列是递增数列【解析】选D.数列1,3,5,7与7,5,3,1各项顺序不同,不是相同的数列,故A错误;数列0,1,0,1,是摆动数列,故B错误;数列0,1,2,3,的通项an=n-1,故C错误;易知数列是递增数列,故D正确.4.在递减数列an中,an=kn(k为常数),则实数k的取值范围是()A.RB.(0,+)C.(-,0)D.(-,0【解析】选C.因为an是递减数列,所以an+1-an=k(n+1)-kn=k0.5.在数列an中,已知an=(cR),则对于任意正整数n有()A.anan+1 D.a
8、n与an+1的大小关系和n有关【解析】选B.因为an=1+,n+12,所以当c-10,即c1时,f(n)=an单调递减,an+1an;当c-1=0,即c=1时,an=1,an+1=an=1;当c-10,即can,所以an+1与an的大小关系和c有关,和n无关.【光速解题】因为cR,所以可以令c=0,求出an判断C错.令c=1,求出an=1,判断A,D错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020上海高一检测)已知数列an=,若对任意正整数n都有anak,则正整数k=.【解题指南】分析数列的单调性,以及数列各项的取值正负,得到数列中的最大项,由此即可求解出k的值.【解析】因为an=,所以n
9、9时,an0,n10时,an0,又因为在上递增,所以=a9,又因为对任意正整数n都有anak,所以k=9.答案:97.已知数列an是递增数列,且an=nN+,则的取值范围是.【解析】由于数列为递增数列,所以解得.答案:8.已知an=(nN+),设am为数列an的最大项,则m=.【解析】因为an=(nN+),所以an=1+.根据函数的单调性可判断:数列an在1,7,8,+)上单调递减,因为在1,7上an1,所以a8为最大项.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)9. (2020哈尔滨高一检测)已知数列满足:an=(nN*),且数列是递增数列,求实数a的取值范围.【解析】根据题意,an=f(
10、n)=,(nN*),要使an是递增数列,必有,据此有:,综上可得2a3.10.若数列中的最大项是第k项,求k.【解析】由ak+1ak,akak-1得k(k+4)(k+1)(k+5),k(k+4)(k-1)(k+3),化简得k210,k2-2k-90,解得k+1,由于k是正整数,所以k=4.1.函数f(x)定义如表,数列xn满足x0=5,且对任意的自然数均有=f(xn),则x2 020=()x12345f(x)51342A.1B.2C.4D.5【解析】选B.根据定义可得,x1=f(x0)=2,x2=f(x1)=1,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=2,所以周期为3,所以x2 020=x1=2.2.已知数列an的通项公式an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?(2)数列an是否有最小项?若有,求出其最小项.【解析】(1)令an0,即n2-7n-80,得-1n8.又nN+,所以n=1,2,3,7,数列从第1项至第7项均为负数,共7项.(2)方法一:an=n2-7n-8是关于n的二次函数,其对称轴方程为n=3.5,所以当1n3时,an单调递减;当n4时,an单调递增,所以当n=3或4时,an最小,且最小项a3=a4=-20.方法二:设an为数列an的最小项,则即解得3n4,故当n=3或n=4时,a3=a4是数列中的最小项,且最小项a3=a4=-20.