1、专题02 空间向量与立体几何大题专项练习一、巩固基础知识1如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。(1)求证：，；(2)求的长；(3)求异面直线与夹角的余弦值。【解析】(1)由题意可知三棱锥为正四面体，过做底面的垂线，垂足为，连接，则在上，过做直线，分别交、于、两点，则、相互垂足，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系，则，则，；(2)；(3)，从而异面直线与夹角的余弦值为。2如图所示，在三棱锥中，和所在平面互相垂直，且， ，、分别为、的中点。(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值。【解析】(1)证明：由，则：，则，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，故平面
2、平面；(2)解：由，点为的中点，知，知，则，则， 如图所示以点为坐标原点，以平面内与垂直的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则、，平面一个法向量为，设平面的法向量为，由得，设，得一个法向量，设二面角的平面角为，则，则二面角的正弦值为。3如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。(1)证明平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明：连接，为正三角形，为中点，平面，又，又，平面；(2)解：由(1)可知，故分别以、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为，则即，设，则、，则，设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为。
3、4直三棱柱，点在线段上。(1)若平面，确定点的位置并证明；(2)当时，求二面角的余弦值。【解析】(1)当是中点时，平面，证明如下：连接，交于，连接，三棱柱是直三棱柱，侧面为矩形，为的中位线，平面，平面，平面；(2)由，得，则，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、，设(，)，点在线段上，且，即，平面的法向量为，设平面的法向量为，由得：，设，则，设二面角的大小为，经观察为锐角，二面角的余弦值为。二、扩展思维视野5如图，在四棱锥中，已知是平行四边形，。(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值。【解析】(1)证明：设，连接，则，且，四边形为菱形，且，又，是等腰，在中，有，即，又，平面；(2)以为
4、坐标原点，如图建系，则，则，设平面的法向量为，则，令，则、，则，设平面的法向量为，则，令，则、，则，设二面角的平面角为，经观察为钝角，则。6如图所示，在四棱锥中，为棱的中点，异面直线与所成的角为。(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)由题意可知，在梯形中，与不平行，如图，延长、，相交于点(平面)，点即为所求的一个点，理由如下：由已知，知，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面； (2)如图，由已知，平面，于是，是二面角的平面角，又，平面， 设，则在中，作平面，以为原点，以，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐
5、标系，则，设平面法向量为，由得，设，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为。三、提升综合素质7如图，已知矩形中，为的中点，沿将折起，使。(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)在矩形中，为的中点，、为等腰直角三角形，即，取中点，连接、，则，在中，在中，又，又，平面，而平面，平面平面；(2)以为原点如图建系，则，设平面的法向量为，由得，令，则、，取，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。8如图1，点、分别是正的边、的中点，点是的中点，将沿折起，使得平面平面，得到四棱锥，如图2。(1)试在四棱锥的棱上确定一点，使得平面；(2)在(1)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)点在棱上，时，平面，在棱上取一点，使，连接、，如图，在中，、，由题意可知，四边形为平行四边形，、，平面平面，又平面，故平面；(2)取棱的中点，连接、，则，平面平面，平面平面，又平面，平面，以为坐标原点，、为、轴如图建系，设，则、，设平面的法向量为，则，即，取，则、，设点，设直线与平面所成角的平面角为，则，直线与平面所成角的正弦值为。
