1、单元综合测试四(综合测试题)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是(D)A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21或x1D若1或x1，则x21解析：命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”故应选D.2设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的(A)A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：因为ylog2x在(0，)上单调递增，所以ab1log2alog2blog210，所以“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件3已知椭圆1(a0)与双曲线1有相同的焦点，则a的
2、值为(C)A. B.C4 D10解析：因为椭圆1(a0)与双曲线1有共同的焦点(，0)，所以a297，所以a4，故选C.4双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r(A)A. B2C3 D6解析：双曲线的渐近线方程为yx，即xy0，圆心(3,0)到直线的距离d ，r.故选A.5.1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(A)A B.C. D.解析：设F1为椭圆1的左焦点，F2为右焦点，PF1与y轴的交点为M.M是PF1的中点，MOPF2，PF2x轴又半焦距c3，设P(x，y)，则x3，代入椭圆方程得1，解得y.M点纵坐标为.6以1的焦点
3、为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：双曲线1，即1的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1而言，a216，c212.b24，因此方程为1.7如图，已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF夹角的余弦值为(A)A. B.C D解析：设正四面体的棱长为4.正四面体ABCD中，相邻两棱夹角为60，对棱互相垂直又，4，|222141613.|，同理|.cos，.8棱长均为1的三棱锥SABC，若空间一点P满足xyz(xyz1)，则|的最小值为(B)A1 B.C. D.解析：满足xyz(xyz1)，2(xyz)2x2y2z22xy2xz2yzx2
4、y2z2xyxzyz.xyz1，(xyz)21，x2y2z22xy2xz2yz1，又x2y2z2xyxzyz，xyxzyz，x2y2z2xyxzyz1(xyxzyz)，则|的最小值为.故选B.9已知00)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为(B)A32，) B32，)C. D.解析：因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21.设点P(x0，y0)(x0)，则有y1(x0)，解得y1(x03)因为(x02，y0)，(x0，y0)，所以x0(x02)yx0(x02)12x01，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0.因为x0，所以当x
5、0时，取得最小值32132，故的取值范围是32，)12在四面体ABCD中，P在面ABC内，Q在面BCD内，且满足xy，stu，若，则线段AQ与DP的关系是(C)AAQ与DP所在直线是异面直线BAQ与DP所在直线平行C线段AQ与DP必相交D线段AQ与DP延长后相交解析：如图，可设k，xyksktk(st)kku，向量，共面，即四点A，D，P，Q共面，线段AQ与DP必相交二、填空题(每小题4分，共16分)13空间四点在同一平面内，O为空间任意一点，若2k，则实数k2.解析：2k，又P平面ABC，12k1，解得k2.14设点O(0,0,0)，A(1，2,3)，B(1,2,3)，C(1,2，3)，若与
6、的夹角为，则cos.解析：(1，2,3)，(2,0，6)，cos.15斜率为的直线与双曲线1(a0，b0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(2，)解析：双曲线1的渐近线方程为yx，则由题意得，即ba，b23a2，c2a23a2，e213，e2.16已知单位向量i，j，k两两所成的夹角均为(0，且)，若空间向量a满足axiyjzk(x，y，zR)，则有序实数对(x，y，z)称为向量a在“仿射”，坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a(x，y，z).有下列命题：已知a(2,0，1)，b(1,0,2)，则ab0；已知a(x，y,0)，b(0,0，z)，其中xyz0，则当且仅
7、当xy时，向量ab的夹角取得最小值；已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则；ab(x1x2，y1y2，z1z2)；已知(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，则三棱锥OABC体积为V.其中真命题有(填写真命题的所有序号)解析：若a(2,0，1)，b(1,0,2)，则ab (2ik )(i2k)23ik23cos，0，且，ab0；a(x，y,0)，b(0,0，z)，其中xyz0，向量a，b的夹角取得最小值，两向量同向存在实数0，满足ab，根据仿射坐标的定义，易知为假命题；已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则ab(x1x2)i(y1y2)j(z1z2)k；
8、ab(x1x2，y1y2，z1z2)；已知(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，则三棱锥OABC为正四面体，棱长为1，体积为V.故答案为.三、解答题(共74分)17(本题满分12分)给定两个命题，命题p：对任意实数x都有x2ax10恒成立；命题q：关于x的方程x2xa0有实数根如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围解：根据题意，命题p为真命题时，a240，则2a2.命题q为真命题时，14a0，则a.又p或q为真命题，p且q为假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题如果p为真命题，q为假命题，则解得a2；如果p为假命题，q为真命题，则解得a2.所以实数a的取值范围为
9、ab0)将已知两点A(1，)和B(，)代入可知解得故椭圆C的方程为1.(2)由于椭圆E与椭圆C有相同的焦点，由(1)知，椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1,0)，又椭圆E过点P(2，)，则根据椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a1，即42a1，故可知c11，a12，b1，从而得到椭圆E的方程为1.19(本题满分12分)如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求平面AFD与平面FDC的夹角的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段F
10、M的长解：(1)取线段EF的中点H，连接AH，因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF，及AH平面AEF，所以AH平面BEF.如图建立空间直角坐标系，则A(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)设n(x，y，z)为平面AFD的一个法向量，所以取z，则n(0，2，)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1)，故cosn，m.所以二面角AFDC的余弦值为.(2)设FMx，则M(4x,0,0)，因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，经检验，此时点N在线段BC上所以FM.20(本题满分12分)
11、已知F1，F2是椭圆1(ab0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(1，)在椭圆上，且0，O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求k的值解：(1)依题意，可知PF1F1F2，c1，1，a2b2c2，解得a22，b21，c21，椭圆的方程为y21.(2)直线l：ykxm与O：x2y21相切，则1，即m2k21.由得(12k2)x24kmx2m220.直线l与椭圆交于不同的两点A，B，设A(x1，y1)，B(x2，y2)0k20k0，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，x
12、1x2y1y2，k1.21(本题满分13分)如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径OA2，侧面积为8，AOP120.(1)求证：AGBD；(2)求二面角PAGB的平面角的余弦值解：方法1：(1)证明：由题意可知822AD，解得AD2，在AOP中，AP2，ADAP，又G是DP的中点，AGDP.AB为圆O的直径，APBP.由已知知DA平面ABP，DABP，BP平面DAP.BPAG.由可知：AG平面DBP，AGBD.(2)由(1)知：AG平面DBP，AGBG，AGPG，PGB是二面角PAGB的平面角PGPDAP，BPOP2，BPG9
13、0，BG.cosPGB.方法2：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知822AD，解得AD2，则A(0,0,0)，B(0,4,0)，D(0,0,2)，P(，3,0)，G是DP的中点，可求得G(，)(1)证明：(，1，0)，(0，4，2)，(，)，(，)(0，4,2)0，AGBD.(2)由(1)知，(，1,0)，(，).(，)，(，)0，0.是平面APG的法向量设n(x，y,1)是平面ABG的法向量，由n0，n0，解得n(2,0,1)cos.所以二面角PAGB的平面角的余弦值为.22(本题满分13分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设点F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时，不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)当ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ1，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.