1、_3.1数系的扩充和复数的概念31.1数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示提出问题问题1：方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有问题2：若有一个新数i满足i21，试想方程x210有解吗提示：有解(xi)，但不在实数范围内导入新知1复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.全体复数所成的集合C叫做复数集2复数的表示复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部3复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是
2、ac且bd.化解疑难对复数概念的理解(1)对复数zabi只有在a，bR时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类提出问题问题1：复数zabi在什么情况下表示实数？提示：b0.问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C?提示：RC导入新知复数的分类(1)复数abi(a，bR)(2)集合表示：化解疑难10的特殊性0是实数，因此也是复数，写成abi
3、(a，bR)的形式为00i，即其实部和虚部都是0.2a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件复数相等的充要条件例1(1)若512ixiy(x，yR)，则x_，y_.(2)已知(2x1)iy(3y)i，其中x，yR，i为虚数单位求实数x，y的值解析(1)由复数相等的充要条件可知x12，y5.答案125(2)解根据复数相等的充要条件，由(2x1)iy(3y)i，得解得即x，y4.类题通法解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)活学活
4、用已知x2y26(xy2)i0求实数x，y的值解：由复数相等的条件得方程组由得xy2，代入得y22y10.解得y11，y21.所以x1y121，x2y221.即或复数的分类例2已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？解(1)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.类题通法利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实
5、部与虚部的取值求解要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.活学活用设复数zlg(m22m2)(m23m2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解：(1)要使复数z为实数，需满足解得m2或1.即当m2或1时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m3.即当m3时，z是纯虚数典例(上海高考)设mR，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.解析复数m2m2(m21)i是纯虚数的充要条件是解得即m2.故m2时，m2m2(m21)i是纯虚数答案2易错防范1若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m1或2的错误结论2复数zabi(a，bR
6、)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可成功破障若z(x21)2(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D1或1解析：选A因为z为纯虚数，所以(x21)20，又x10，所以x1.随堂即时演练1在2，i,0,85i，(1)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A0B1C2 D3解析：选Ci，(1)i是纯虚数，2，0,0.618是实数，85i是虚数2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的复数是()A22i B22iCi D.i解析：选A2i的虚部为2，i2i22i，其实部为2，故所求复数为22i.3下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚
7、数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_解析：当a1时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错答案：4已知(3xy)(2xy)i(7x5y)3i，则实数x_，y_.解析：x，y是实数，根据两个复数相等的充要条件，可得解得答案：5已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解：(1)当z为实数时，则当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有即a1且a6.当a1且a6时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，则有不存在实数a使z为纯虚数课时达标检测一、选择题1若复数
8、2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A2B.C D2解析：选D复数2bi的实部为2，虚部为b，由题意知2(b)，所以b2.2若43aa2ia24ai，则实数a的值为()A1 B1或4C4 D0或4解析：选C易知解得a4.3若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1 B2C1 D1或2解析：选D复数zm21(m2m2)i为实数，m2m20，解得m1或m2.4若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1 B2C1或2 D1解析：选B根据复数的分类知，需满足解得即a2.5下列命题中，正确命题的个数是()若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若a
9、，bR且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.A0 B1C2 D3解析：选A对由于x，yC，所以x，y不一定是xyi的实部和虚部，故是假命题；对由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如12i20，但10，i0.二、填空题6设x，yR，且满足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，则xy_.解析：因为x，yR，所以利用两复数相等的条件有解得所以xy1.答案：17若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数m_.解析：因为log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，所以所以m4.答案：48已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1z2，
10、则a的值为_解析：由z1z2，得即解得a0.答案：0三、解答题9当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当即m2时，复数z是实数(2)当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数(3)当即m3时，复数z是纯虚数10已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值解：MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.31.2复数的几何意义复数的几何意义提出问题平面直角坐标系内的点
11、与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应问题1：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？提示：一一对应问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？提示：由问题1,2可知能一一对应导入新知1复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点Z(a，b)；(
12、2)复数zabi(a，bR)一一对应平面向量(a，b)3复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|abi|，且|z|.化解疑难探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：复数与复平面内点的一一对应例1实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上自主解答因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2x
13、5时，点Z位于第四象限(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上类题通法探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数zabi(a，bR)的点，则(1)当a0，b0时，点Z位于第一象限；当a0，b0时，点Z位于第二象限；当a0，b0时，点Z位于第三象限；当a0，b0时，点Z位于第四象限(2)当a0时，点Z在虚轴上；当b0时，点Z在实轴上(3)当b0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b0时，点Z位于实轴下面的半平面内活学活用实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m25m6)(m22m15)i的点(1)位于x轴上方；(2)位于直线yx上
14、解：(1)由m22m150，得m3或m5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方(2)由m25m6m22m15，得m3，此时z在复平面内对应的点位于直线yx上.复数与平面向量的一一对应例2(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55iB55iC55i D55i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.求向量，对应的复数；判定ABC的形状(1)解析向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数的几何意义，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对
15、应，可得向量对应的复数是55i.答案B(2)解由复数的几何意义知：(1,0)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)，对应的复数分别为1i，22i，3i.|，|2，|，|2|2|2，ABC是以BC为斜边的直角三角形类题通法复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化活学活用(湖北高考)i为虚数单位，设
16、复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部、虚部均互为相反数，故z223i.答案：23i复数模的计算例3求复数z168i及z2i的模，并比较它们的模的大小自主解答z168i，z2i，|z1|10，|z2| .10，|z1|z2|.类题通法复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小活学活用已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解：z3ai(aR)，|z|，由已知得 4，a27，即a，a(，)典例设zC，满足下列条件的点Z的集合是什
17、么图形？(1)|z|2；(2)2|z|3.解(1)因为|z|2，即|OZ|2，所以满足|z|2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图.(2)不等式2|z|3可化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图.多维探究解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把
18、模的问题转化为几何问题来解决要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题1满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是_解析：由已知得|zi|5，令zxyi(x，yR)，则|x(y1)i|5.x2(y1)225.复数z在复平面上对应点的轨迹是圆答案：圆2已知z12(1i)，且|z|1，则|zz1|的最大值为_解析：|z|1，即|OZ|1，满足|z|1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z12(1i)在坐标系内对应的点为(2，2)故|zz1|的最大值为点Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即|zz1|的最大值为21.答案：21随堂即时演练1在复平面内，
19、复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则a的值为()Aa0或a2Ba0Ca1且a2 Da1或a2解析：选A复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，a22a0，a0或a2.2在复平面内，复数zsin 2icos 2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D因为2，所以sin 20，cos 20.所以复数zsin 2icos 2对应的点位于第四象限3若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数_.解析：复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，5)，P2(1，1)，P3(2，a)，由已知可得，从而可得a5.答案：5
20、4已知34ixyi(x，yR)，则|15i|，|xyi|，|y2i|的大小关系为_解析：由34ixyi(x，yR)，得x3，y4.而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|，5，|y2i|xyi|15i|.答案：|y2i|xyi|15i|5在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(1,0)，则向量，如图所示|z1|1，|z2|1|1，|z3|1.如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半
21、径的圆上课时达标检测一、选择题1设zabi对应的点在虚轴右侧，则()Aa0，b0Ba0，b0Cb0，aR Da0，bR解析：选D复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数2已知z153i，z254i，下列选项中正确的是()Az1z2 Bz1z2C|z1|z2| D|z1|z2|解析：选D复数不能比较大小，A，B不正确，又|z1|，|z2|，|z1|z2|，故C不正确，D正确3在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为点B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i解析：选B因为复数12i对应的点为A(1,2)，点A关于直线yx的对
22、称点为B(2,1)，所以对应的复数为2i.4当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由m1得复数z在复平面内对应的点位于第四象限5已知实数a，x，y满足a22a2xy(axy)i0，则点(x，y)的轨迹是()A直线B圆心在原点的圆C圆心不在原点的圆D椭圆解析：选C因为a，x，yR，所以a22a2xyR，axyR.又a22a2xy(axy)i0，所以消去a得(yx)22(yx)2xy0，即x2y22x2y0，亦即(x1)2(y1)22，该方程表示圆心为(1，1)，半径为的圆二、填空题6已知0a2，复数z的实部为a，虚部为
23、1，则|z|的取值范围是_解析：由题意得zai，根据复数的模的定义可知|z|.因为0a2，所以1a215，故1.答案：(1，)7在复平面内，表示复数z(m3)2i的点位于直线yx上，则实数m_.解析：由表示复数z(m3)2i的点位于直线yx上，得m32，解得m9.答案：98已知z|z|1i，则复数z_.解析：法一：设zxyi(x，yR)，由题意，得xyi1i，即(x)yi1i.根据复数相等的条件，得解得zi.法二：由已知可得z(|z|1)i，等式两边取模，得|z|.两边平方，得|z|2|z|22|z|11|z|1.把|z|1代入原方程，可得zi.答案：i三、解答题9实数a取什么值时，复平面内表
24、示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象限；(2)位于直线yx上解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(2,1)(2)由点Z位于直线yx上得a2a2a23a2，解得a1.故满足条件的实数a的值为1.10已知复数z2cos (1sin )i(R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2cos21可得(x2)2(y1)21.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1
25、)为圆心，1为半径的圆_3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法提出问题已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足问题3：以交换律说明之提示：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i，z2z1(cdi)(abi)(ca)(db)i，z1z2z2z1.导入新知1复数的加、减法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，d
26、R)，则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.2复数加法的运算律(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)化解疑难对复数加减法的理解1把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了2复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形3两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数例如，(32i)2i3.复数加、减法的几何意义提出问题如图，分别与复数abi，cdi对应问题1：试写出、及，的坐标提
27、示：(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)问题2：向量，对应的复数分别是什么？提示：向量对应的复数是ac(bd)i，也就是z1z2，向量对应的复数是ac(bd)i，也就是z1z2.导入新知复数加、减法的几何意义如图：设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1z2对应的向量是 ，与z1z2对应的向量是 .化解疑难对复数加减运算几何意义的认识复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：|z1|z2|z1z2|z1|z2|.复数的加、减运算例1计算：(1)(23i)(5i)；(2
28、)(1i)(1i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，bR)解(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i.(2)(1i)(1i)(11)()i2i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)(b3b3)ia(4b3)i.类题通法复数的加、减运算的技巧复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行活学活用计算下列各题(1)(32i)(105i)(217i)；(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0112 012i)解：(1)原式(3102)(2517)i520i.(2)原式(12342 0092 0102 011)(23452 0102 0
29、112 012)i1 0061 007i.复数加、减运算的几何意义例2已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数及对角线AC、BD的长解如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM，所以zDzAzCzB17i，因为：zCzA2(52i)72i，所以|72i|，因为：zDzB(17i)(45i)512i，所以|512i|13.故点D对应的复数是17i，AC与BD的长分别是和13.类题通法运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减
30、法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数)活学活用复数z112i，z22i，z312i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为xyi(x，yR)因为，所以对应的复数为(xyi)(12i)(x1)(y2)i，因为，所以对应的复数为(12i)(2i)13i.因为，所以它们对应的复数相等，即解得故点D对应的复数为2i.综合应用例3设z1，z2C，已知|z1|z2|1，|z1z2|
31、，求|z1z2|.解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，由题设知a2b21，c2d21，(ac)2(bd)22，又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d2(2ac2bd)2，|z1z2|.法二：作出z1，z2对应的向量，使，|z1|z2|1，又，不共线(若，共线，则|z1z2|2或0与题设矛盾)，平行四边形OZ1ZZ2为菱形又|z1z2|，Z1OZ290，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1z2|.类题通法与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1Z2对应的点为C，O为坐标
32、原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，则四边形OACB为正方形活学活用已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解：法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21. 由得2ac2bd1.|z1z2|.法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长
33、为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC|.典例Mz|z1|1，Nz|zi|zi|，则MN_.解析利用复数的几何意义解决问题在复平面内，|z1|1的几何意义是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆|zi|zi|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴MN的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数故z0或z2.MN0，2答案0，2易错防范1本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误的将集合M和N化简为Mz|z11，Nz|zi(zi)从而造成解题错误2在复数运算中，若zabi，则|z|.要注意与实数运算中的绝对值
34、运算的区别成功破障已知复数z满足z|z|28i，则复数z_.解析：法一：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i，解得z158i.法二：原式可化为z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部，于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i得z158i.答案：158i.随堂即时演练1复数(1i)(2i)3i等于()A1iB1iCi Di解析：选A原式(12)(113)i1i.2在复平面内，对应的复数分别为12i，23i，则对应的复数为()A15i B15iC34i D34i解析：选A(23i)(12i)15i.3实数x，y满足(1i)x(1i)y2，则x
35、y的值是_解析：由题意得xy(xy)i2，xy1.答案：14已知z是复数，|z|3且z3i是纯虚数，则z_.解析：设zabi，则abi3ia(b3)i是纯虚数，a0，b30，又|z|3，b3，z3i.答案：3i5已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设zz1z2132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i，又z132i，且x，yR，解得z1(321)(142)i59i，z24(1)22523(1)i87i.课时达标检测一、选择题1已知z12i，z
36、212i，则复数zz2z1对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Czz2z1(12i)(2i)13i.故z对应的点为(1，3)，位于第三象限2设f(z)z，z134i，z22i，则f(z1z2)等于()A13i B211iC2i D55i解析：选Dz134i，z22i，z1z2(34i)(2i)55i，又f(z)z，f(z1z2)z1z255i.3在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是68i，对应的复数是46i，则对应的复数是()A214i B17iC214i D17i解析：选D依据向量的平行四边形法则可得，由对应的复数是68i，对应的复数是46i，依据复
37、数加减法的几何意义可得对应的复数是17i.4复数zxyi(x，yR)满足条件|z4i|z2|，则2x4y的最小值为()A2 B4C4 D16解析：选C由|z4i|z2|得|x(y4)i|x2yi|，x2(y4)2(x2)2y2，即x2y3，2x4y2x22y2 24，当且仅当x2y时，2x4y取得最小值4.5ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：选A设复数z与复平面内的点Z相对应，由ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|zz1|zz2|zz3|可知点Z到ABC的三个顶
38、点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为ABC的外心二、填空题6设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z256i，则z1z2_.解析：z1z256i，(x2i)(3yi)56i，即z122i，z238i，z1z2(22i)(38i)110i.答案：110i7已知复数z1(a22)(a4)i，z2a(a22)i(aR)，且z1z2为纯虚数，则a_.解析：z1z2(a2a2)(a4a22)i(aR)为纯虚数，解得a1.答案：18若复数z满足z1cos isin ，则|z|的最大值为_解析：z1cos isin ，z(1cos )isin ，|z| 2.答案：2三、解答题9.如图所示，平
39、行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,32i，24i.求：(1)向量对应的复数；(2)向量对应的复数；(3)向量对应的复数解：(1)因为，所以向量对应的复数为32i.(2)因为，所以向量对应的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为，所以向量对应的复数为(32i)(24i)16i.10已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解：(1)点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，点A，B的坐标分别是A(sin2，1)，B(cos2，
40、cos 2)，(cos2，cos 2)(sin2，1)(cos2sin2，cos 21)(1，2sin2)对应的复数z1(2sin2)i.(2)由(1)知点P的坐标是(1，2sin2)，代入yx，得2sin2，即sin2，sin .又(0，)sin ，或.32.2复数代数形式的乘除运算复数的乘法导入新知1复数的乘法设z1abi，z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(acbd)(adbc)i(a，b，c，dR)2复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)
41、z1z2z1z3化解疑难对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的除法提出问题问题1：复数z1abi与z2abi(a，bR)有什么关系？提示：两复数实部相等，虚部互为相反数问题2：试求z1abi，z2abi(a，bR)的积提示：z1z2a2b2，积为实数问题3：如何规定两复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？提示：通常先把(abi)(cdi)写成的形式，再把分子和分母都乘cdi，化简后可得结果即i(cd
42、i0)导入新知1共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数2复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i(cdi0)化解疑难辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)复数的乘除运算例1计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4).解(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2
43、)(1i)(1i)(1i)ii.(3)(23i)(12i)i.(4)法一：2i.法二：ii2i.类题通法复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似活学活用(1)已知复数z148i，z269i，求复数(z1z2)i的实部与虚部；(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.解：(1)由题意得z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则(z1z2
44、)i(2i)i2ii212i.于是复数(z1z2)i的实部是1，虚部是2.(2)设纯虚数zbi(bR)，则.由于是实数，所以b20，即b2，所以z2i.共轭复数例2(1)若z，则复数()A2iB2iC2i D2i(2)(四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()AABBCCDD(3)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1()A2i BiCi D2i解析(1)z2i，则复数2i.(2)因为xyi的共轭复数为xyi，故选B.(3)依题意得zz1(1i)(1i)(1i)1i.答案(1)D(2)B(3)B类题通法共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知，则根据共
45、轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设zabi(a，bR)，则abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解活学活用已知复数z1i，复数z的共轭复数1i，求实数a、b使az2b(a2z)2.解：z1i，1i，az2b(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a、b都是实数，由az2b(a2z)2，得解得或复数运算的综合应用例3已知z1是虚数，z2
46、z1是实数，且1z21.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若，求证：为纯虚数解设z1abi(a，bR，且b0)(1)z2z1abii.因为z2是实数，b0，于是有a2b21，即|z1|1，所以z22a.由1z21，得12a1，解得a，即z1的实部的取值范围是.(2)i.因为a，b0，所以为纯虚数类题通法解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数zabi(a，bR)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义活学活用已知z，为复数，(13
47、i)z为实数，且|5，求.解：设xyi(x，yR)，由，得z(2i)(xyi)(2i)依题意，得(13i)z(13i)(xyi)(2i)(x7y)(7xy)i，7xy0.又|5，x2y250.由得或17i或17i.典例已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实数根，则实数k的值为_解析设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(xkx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件得解得或所以k的值为2或2.答案2易错防范1求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得k2或k2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根2复数范围内解方
48、程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解成功破障在复数范围内方程x25|x|60的解的个数为()A2 B4 C6 D8解析：选C设xabi(a，bR)，那么原方程即为(abi)2560，即解得或或随堂即时演练1(浙江高考)已知i是虚数单位，则(1i)(2i)()A3i B13iC33i D1i解析：选B按照复数乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.2(湖北高考)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭
49、复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选Dz1i的共轭复数为1i，对应的点为(1，1)在第四象限3若abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab_.解析：因为1i，所以1iabi，所以a1，b1，所以ab2.答案：24设z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_解析：设bi(bR且b0)，所以z1biz2，即a2ibi(34i)4b3bi.所以所以a.答案：5计算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.解：(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2
50、i)44ii234i.课时达标检测一、选择题1复数(3i1)i的虚部是()A1B3C3 D1解析：选A(3i1)i3i2i3i，虚部为1.2已知复数z1i，则()A2i B2iC2 D2解析：选B法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，而2i.3.若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()AE BFCG DH解析：选D由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1)4(安徽高考)设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数若zi22z，则z()A1iB1iC1i D1i解析：选A设zabi(a，bR)，则abi，又zi22z，(a2b2)i22a2bi
51、，a1，b1，故z1i.5已知复数z，是z的共轭复数，则z等于()A. B.C1 D2解析：选Az，z.二、填空题6若z时，求z2 012z102_.解析：z22i.z2 012z102(i)1 006(i)51(i)1 004(i)2(i)48(i)31i.答案：1i7设x，y为实数，且，则xy_.解析：i，而i，所以且，解得x1，y5，所以xy4.答案：48设z2z1i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为_解析：设z1abi(a，bR)，则z2z1i1abii(abi)(ab)(ab)i，因为z2的实部是1，即ab1，所以z2的虚部为1.故填1.答案：1三、解
52、答题9已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.10已知复数z.(1)求复数z；(2)若z2azb1i，求实数a，b的值解：(1)z1i.(2)把z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，整理得ab(2a)i1i，所以解得数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(江西高考)已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z()A2iB2iC4i D4i解析：选C由MN4
53、，知4M，故zi4，故z4i.2复数的虚部是()A.i B.Ci D解析：选B因为，所以的虚部是.3设a，bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数a为纯虚数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选Bab0，a0或b0.由复数aabi为纯虚数，得a0且b0.“ab0”是“复数a为纯虚数”的必要不充分条件4若复数z(1i)(xi)(xR)为纯虚数，则|z|等于()A2 B.C. D1解析：选Azx1(x1)i为纯虚数且xR，得x1，z2i，|z|2.5复数z的共轭复数是()A2i B2iC1i D1i解析：选Dz1i，所以其共轭复数为1i.6复平面上平行
54、四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为23i,32i，23i，则D点对应的复数是()A23i B32iC23i D32i解析：选B设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得D(3，2)对应复数为32i.7若复数z1i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2 2的虚部为()A0 B1C1 D2解析：选A因为z1i，所以1i，所以z2 2(1i)2(1i)22i2i0.故z2 2的虚部为0.8在复平面内，若zm2(1i)m(4i)6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是()A(0,3) B(，2)C(2,0) D(3,4)解析：选D整理得z(m24m)(m2m6)i，对
55、应的点位于第二象限，则解得3m4.9定义运算adbc，则符合条件42i的复数z为()A3i B13iC3i D13i解析：选A由定义知ziz，得ziz42i，即z3i.10若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3 Bb2，c3Cb2，c1 Db2，c1解析：选B因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11在复平面内，若复数(6k2)(k24)i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是_解析：由已知得4k26，k(，2)(2，)答案：(，2)(
56、2，)12设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_解析：abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.答案：813a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.解析：1ai，则|1ai| 2，所以a23.又a为正实数，所以a.答案：14已知复数zabi(a，bR)且，则复数z在复平面对应的点位于第_象限解析：a，bR且，即，5a5ai2b4bi155i，即解得z710i.z对应的点位于第四象限答案：四三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)15(本小题满分12分)(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是
57、：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解：(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数(3)当即k4时，z是纯虚数(4)当即k1时，z是0.16(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z123i，z2.求：(1)z1z2；(2).解：因为z213i，所以(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2)i.17(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知复数z1满足(1i)z115i，z2a2i，其中i为虚数单位，aR，若|z1|z1|，求a的取值范围解：z123i，z2a2i，a2i，|z1|(23i)(a2i)|4a2i| ，又|z1|，|z1|z1|， ，a28a70，解得1a7.a的取值范围是(1,7)18(本小题满分14分)已知z是复数，z2i，eq f(z,2i均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围,解：设zxyi(x，yR)，则z2ix(y2)i，,由z2i为实数，得y2.,(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由为实数，得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6.实数a的取值范围是(2,6)
