1、2015-2016学年湖北省孝感市高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1等差数列an中，若a4+a6=4，则2a3a1的值为（）A1B2C3D42设m，n是两不同的直线，是两不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，=n，mn，则mB若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若n，n，m，则m3若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）ABCD4如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直
2、线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD05已知点A（2，3），B（3，2）若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）ABCk2或Dk26在空间直角坐标系中，点A（1，3，2），B（2，3，2），则A，B两点间的距离为（）AB5CD257在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=，A=，若三角形有两解，则边a的取值范围为（）ABCD8半径为1，圆心角为的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为（）ABCD9过点P（4，2）作圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，点O为坐标原点，则AOB的外接圆方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x+4）
3、2+（y+2）2=20C（x2）2+（y1）2=5D（x4）2+（y2）2=2010一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A1B2C3D411已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=m的距离为1的点有且仅有2个，则m的取值范围是（）AB（3，）（，3）CD12已知圆M：（x1）2+y2=1，设A（0，t），B（0，t+6），（5t2），若圆M是ABC的内切圆，则ABC面积的最大值为（）ABC7D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13经过直线l1：x+y5=0，l2：xy1=0的交点且垂直于直线2x
4、+y3=0的直线方程为14已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=15已知点A（2，2），B（2，6），C（4，2），点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为16已知正方体ABCDABCD的棱长为1，下列说法：对角线AC被平面ABD和平面BCD三等分；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为1：2：3；正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为；则正确的是（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设直
5、线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，cosB=（）求cosC的值；（）若c=，求ABC的面积19如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC=（1）证明：DE平面BCF；（2）证明：CF平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG20甲、乙两地相距1000km，货车从
6、甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元；（）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（）若a=400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？21已知点Pn（an，bn）（nN*）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列an成等差数列，公差为1（）求数列an，bn的通项公式；（）若问是否存在kN*，使得f（k+5）=2f（k）2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（）求证：（n2，nN*）22已知，x，yR，若由不
7、等式组围成的区域为P，设两曲线的交点为A，B，C（a，5）且CP；（）求实数a的取值范围；（）若a=0，求ABC的面积；（）求ABC的面积的最大值2015-2016学年湖北省孝感市高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1等差数列an中，若a4+a6=4，则2a3a1的值为（）A1B2C3D4【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知条件直接利用等差数列的通项公式求解即可【解答】解：等差数列an中，a4+a6=4，a1+3d+a1+5d=4，a1+4d=2，2a3a1=2（a1+2
8、d）a1=a1+4d=2故选：B2设m，n是两不同的直线，是两不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，=n，mn，则mB若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若n，n，m，则m【考点】平面的基本性质及推论【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断若，=n，mn时，m与可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直；若m，n，mn时，与可能平行或相交；若m，n，mn时，与不一定垂直【解答】解：设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则：若，=n，mn时，m与可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直，故A不正确若m，n，mn时
9、，与可能平行或相交；，故B不正确若m，n，mn时，与不一定垂直，故C错误n，n，m时，则必有：m，故D一定成立，故选D3若两直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）ABCD【考点】两条平行直线间的距离【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离【解答】解：直线3x+4y+3=0与6x+my+1=0平行，m=8，直线3x+4y+3=0，即6x+8y+6=0，故两平行直线间的距离为=，故选：A4如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的
10、中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）ABCD0【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos，可得答案【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）=（1，0，1），=（1，1，1）设异面直线A1E与GF所成角的为，则cos=|cos，|=0，故选：D5已知点A（2，3），B（3，2）若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A
11、BCk2或Dk2【考点】直线的斜率【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案【解答】解：直线PA的斜率k=2，直线PB的斜率k=，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k2或k故选C6在空间直角坐标系中，点A（1，3，2），B（2，3，2），则A，B两点间的距离为（）AB5CD25【考点】空间两点间的距离公式【分析】利用空间中两点间距离公式直接求解【解答】解：点A（1，3，2），B（2，3，2），A，B两点间的距离：|AB|=5故选：B7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=，A=，若三角形有两解，则边a的取值范围为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利
12、用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可【解答】解：在ABC中，b=，A=，由正弦定理得：sinB=，A=，0B，要使三角形有两解，得到B，且B，即sinB1，1，解得：a，故选：C8半径为1，圆心角为的扇形卷成一个圆锥，则它的体积为（）ABCD【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出圆锥的底面半径、高，即可求出圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2r=，r=，圆锥的高为=，圆锥的体积V=，故选：A9过点P（4，2）作圆x2+y2=2的两条切线，切点分别为A
13、，B，点O为坐标原点，则AOB的外接圆方程是（）A（x+2）2+（y+1）2=5B（x+4）2+（y+2）2=20C（x2）2+（y1）2=5D（x4）2+（y2）2=20【考点】圆的切线方程【分析】由题意知OAPA，BOPB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆【解答】解：由题意知，OAPA，BOPB，四边形AOBP有一组对角都等于90，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2，四边形AOBP的外接圆的方程为 （x2）2+（y1）2=5，AOB外接圆的方程为 （x2）2+（y1）2=5故
14、选：C10一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A1B2C3D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意知几何体由一个直三棱柱截去一个四棱锥而成，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由题意知几何体由一个直三棱柱截去一个四棱锥PABCD而成，直观图如图所示：B是棱的中点， 且底面是等腰直角三角形、直角边2，侧棱与底面垂直、侧棱长是4由三视图得，PD平面ABCD，该几何体的体积V=84=4，故选：D11已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=m的距离为1的点有且仅有2个，则m的取值范围是（）AB（3，
15、）（，3）CD【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意得圆心（0，0）到直线l：x+y+m=0的距离d满足1d3，根据点到直线的距离公式求出d，再解绝对值不等式求得实数m的取值范围【解答】解：根据题意，圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=m的距离为1的点有且仅有2个，则圆心（0，0）到直线l：x+y+m=0的距离d满足1d3，由于d=，所以13，即|m|3，解得m（3，）（，3）故选：B12已知圆M：（x1）2+y2=1，设A（0，t），B（0，t+6），（5t2），若圆M是ABC的内切圆，则ABC面积的最大值为（）ABC7D【考点】直线与圆的位置关系【分析】设AC斜率为k1，BC斜率为k
16、2，推出直线AC、直线BC的方程，求出ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值即可【解答】解：设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则直线AC的方程为y=k1x+t，直线BC的方程为y=k2x+t+6；由方程组，得C点的横坐标为xc=，|AB|=t+6t=6，SABC=6=，由于圆M与AC相切，所以=1，k1=；同理，k2=，k1k2=，SABC=6（1），5t2，2t+31，8t2+6t+14，SABC的最大值为6（1+）=故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13经过直线l1：x+y5=0，l2：xy1=0的交点且垂直于直线2x+y3=0的直线方
17、程为x2y+1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】求交点坐标，利用直线垂直的关系即可得到结论【解答】解：由，解得，即交点坐标为（3，2），设垂直于2x+y3=0的直线方程为x2y+c=0，x2y+c=0过点（3，2），34+c=0，解得c=1，即直线方程为x2y+1=0，故答案为：x2y+1=014已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=6【考点】简单线性规划【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大【解答】解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点A时，纵截距最大，
18、z最大，联立方程得，代入，k=6故答案为615已知点A（2，2），B（2，6），C（4，2），点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88【考点】直线与圆的位置关系【分析】由点A（2，2），B（2，6），C（4，2），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2=3a2+3b24b+68，由点P在圆x2+y2=4上运动，知2b2把a2=4b2代入3a2+3b24b+68=4b+80，即可求出|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值【解答】解：点A（2，2），B（2，6），C（4，2），设P（a，b），则|PA|2+|PB|2+|PC|2=（a+2）
19、2+（b+2）2+（a+2）2+（b6）2+（a4）2+（b+2）2=3a2+3b24b+68，点P在圆x2+y2=4上运动，a2+b2=4，a2=4b20，所以b24，2b2把a2=4b2代入3a2+3b24b+68=123b2+3b24b+68=4b+80，2b2，所以当b=2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88故答案为：8816已知正方体ABCDABCD的棱长为1，下列说法：对角线AC被平面ABD和平面BCD三等分；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为1：2：3；正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为
20、；则正确的是（写出所有正确的序号）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】如图所示，假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM平面A1BD可得AM（）2=121，解得AM=AC1，即可判断出；以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=134=，不是，即可判断出；设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为，即可得出表面积之比；正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=13=；【解答】解：如图所示，假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM平面A1BDAM（）2=121，解得AM=AC1
21、，因此对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分，正确；而以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=134=，不是，不正确；设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为，因此表面积之比=4（）2：4（）2：4（）2=1：2：3，正确；正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=13=，不正确；故答案为：三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值【考点】直线的一般式方程【
22、分析】（1）直线l不经过第二象限，得到，解得即可；（2）当x=0时，y=a2，y=0时，x=，根据三角形的面积公式得到|（a2）|=2，解得即可【解答】解：（1）直线l的方程（a+1）x+y+2a=0化为y=（a+1）x+a2直线l不经过第二象限，解得a1实数a的取值范围是a1，（2）当x=0时，y=a2，y=0时，x=，|（a2）|=2，解得a=0或a=818在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，cosB=（）求cosC的值；（）若c=，求ABC的面积【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】（）利用同角三角函数的基本关系，诱导公式、两角和差的余弦公式，求得cosC的值（）
23、若c=，利用正弦定理求得a的值，可得ABC的面积【解答】解：（）ABC中，sinB=，又 A=，=（）由（）知由正弦定理知：，19如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥ABCF，其中BC=（1）证明：DE平面BCF；（2）证明：CF平面ABF；（3）当AD=时，求三棱锥FDEG的体积VFDEG【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，故有DEBC，再根
24、据直线和平面平行的判定定理证得DE平面BCF（2）由条件证得AFCF ，且在三棱锥ABCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而 CFBF，结合，证得CF平面ABF（3）由（1）可知GECF，结合（2）可得GE平面DFG再由，运算求得结果【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，DEBC又DE平面BCF，BC平面BCF，DE平面BCF（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AFBC，即AFCF ，且在三棱锥ABCF中，BC2=BF2+CF2，CFBF又BFAF=F，CF平面ABF（3）由（1）可知GECF，结合（2）可得GE平面DFG=20
25、甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元；（）将全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（）若a=400，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】（）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；（）利用基本不等式可得结论【解答】解：（）可变成本为，固定成本为
26、a元，所用时间为，即定义域为（0，80；（），当且仅当，即v=40时等号成立，当v=40时，ymin=20000答：当火车以40km/h的速度行驶，全程运输成本最小21已知点Pn（an，bn）（nN*）都在直线l：y=2x+2上，P1为直线l与x轴的交点，数列an成等差数列，公差为1（）求数列an，bn的通项公式；（）若问是否存在kN*，使得f（k+5）=2f（k）2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（）求证：（n2，nN*）【考点】数列递推式【分析】（I）点Pn（an，bn）（nN*）都在直线l：y=2x+2上，bn=2an+2，P1为直线l与x轴的交点，P1（1，0），即a1=
27、1，b1=0利用等差数列的通项公式即可得出（II）假设存在kN*，使得f（k+5）=2f（k）2成立对k分类讨论即可得出（III）P1（1，0），Pn（n2，2n2），=（n1）2+（2n2）2=5（n1）2（1）n=2时， =5，则=，即可证明（2）n3时， =利用“裂项求和”方法即可证明【解答】（I）解：点Pn（an，bn）（nN*）都在直线l：y=2x+2上，bn=2an+2，P1为直线l与x轴的交点，P1（1，0），即a1=1，b1=0数列an成等差数列，公差为1an=1+（n1）=n2bn=2（n2）+2=2n2（II）解：假设存在kN*，使得f（k+5）=2f（k）2成立k为奇数时
28、，f（k）=k2，f（k+5）=2（k+5）2，则2（k+5）2=2（k2）2，化为：10=4，不成立，舍去k为偶数时，f（k）=2k2，f（k+5）=k+52=k+3，则k+3=2（2k2）2，化为：3k=9，解得k=3，不成立故不存在kN*，使得f（k+5）=2f（k）2成立（III）证明：P1（1，0），Pn（n2，2n2），=（n1）2+（2n2）2=5（n1）2（1）n=2时， =5，则=（2）n3时， =+=，综上可得：（n2，nN*）22已知，x，yR，若由不等式组围成的区域为P，设两曲线的交点为A，B，C（a，5）且CP；（）求实数a的取值范围；（）若a=0，求ABC的面积；（）求ABC的面积的最大值【考点】圆方程的综合应用【分析】（）由题意知：C（a，5）且CP，可得不等式，即可求实数a的取值范围；（）由题意知：ACBC，求出交点坐标，即可求ABC的面积；（）延长AC交圆于点B，求出点（1，5）到直线l：xay+5=0的距离，表示出面积，利用基本不等式求ABC的面积的最大值【解答】解：（）由题意知：C（a，5）且CP，（）由题意知：ACBC联立知（） 延长AC交圆于点B点（1，5）到直线l：xay+5=0的距离为：当且仅当AC=BC，a=1时等号成立当a=1时，ABC的面积的最大值为42016年9月5日