1、专题限时集训(八)高考中的数学文化题高考中的创新应用题 1(2020全国卷)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12，设1ijk12.若kj3且ji4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj4且ji3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A5 B8C10D15C法一：由题意，知ai，aj，ak构成原位大三和弦时，jk3，ij4，所以ai，aj，ak为原位大三和弦的情况有：k12，j9，i5；k11，j8，i4；k10，j7，i3；k9，j6，i2；k8，j5，i1共5种ai，aj，ak构成原位小三和弦时，jk4，ij3
2、，所以ai，aj，ak为原位小三和弦的情况有：k12，j8，i5；k11，j7，i4；k10，j6，i3；k9，j5，i2；k8，j4，i1共5种所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10，故选C法二：由题意，知当ai，aj，ak为原位大三和弦时，kj3且ji4，又1ijk12，所以5j9，所以这12个键可以构成的原位大三和弦的个数为5.当ai，aj，ak为原位小三和弦时，kj4且ji3，又1ij100，令100n14且nN*，即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1，前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n1组的
3、前k项的和2k1应与2n互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，此时k5，则N5440.故选A10(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.若lm，l，则m(答案不唯一)把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况对三种情况逐一验证作为条件，作为结论时，还可能l或l与斜交；作为条件，作为结论和作为条件，作为结论时，容易证明命题成立11(2020北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企
4、业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf (t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示结出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时间，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；
5、由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业的，故正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，正确；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力明显低于t1，t2时的，故错误12一题两空(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1
6、.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_图1图2261依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则xxx1，解得x1，故题中的半正多面体的棱长为1.1(2020厦门模拟)易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为()A BCDD观察八卦图
7、可知，含有3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有三根阳线和三根阴线的概率为，故选D2(2020江西红色七校第一次联考)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，dN*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道e2.718 28，若令e，则第一次用“调日法”后得是e的更为精确的过剩近似值，即e，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得e的近似分数为()A B C DC第一
8、次用“调日法”后得是e的更为精确的过剩近似值，即e，第二次用“调日法”后得是e的更为精确的过剩近似值，即e，第三次用“调日法”后得是e的更为精确的不足近似值，故选C3(2020济宁模拟)九章算术一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题齐去长安三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行良马初日行一百五十五里，日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里问几日相遇()A十日B十一日C十二日D六十日A设良马每天行走的里数构成数列an，驽马每天行走的里数构成数列bn，则an，bn均为等差数列，公差分别为d1，d2，且a1155，d112，b1100，d22，设n日相遇，则由题意知
9、155n12100n(2)3 000，解得n10.4(2020日照模拟)中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()Aa，b，c成公比为2的等比数列，且aBa，b，c成公比为2的等比数列，且cCa，b，c成公比为的等比数列，且
10、aDa，b，c成公比为的等比数列，且cD由题意可得，a，b，c构成公比为的等比数列，ba，cb，故4c2cc50，解得c.故选D5(2020郑州模拟)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积术”设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积术”为S.若c2sin A4sin C，B，则用“三斜求积术”求得ABC的面积为()A B C DA根据正弦定理，由c2sin A4sin C，可得ac4.结合B，可得a2c2b24，则SABC，故选A6多选(2020枣庄模拟)设函数f (x)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f (x)f (y
11、)成立，则称函数f (x)为“H函数”下列为“H函数”的是()Aysin xcos xByln xexCy2xDyx22xAB由题意，得“H函数”的值域关于原点对称A中，ysin xcos xsin 2x，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数yln xex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y2x0，故C不是“H函数”；D中，yx22x(x1)211，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”综上所述，A，B是“H函数”，故选AB7多选(2020济宁模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x)的图象恰好经过n(nN*)个整点，则称函数f (x)为
12、n阶整点函数则下列函数是一阶整点函数的是()Af (x)sin 2xBg(x)x3Ch(x)D(x)ln xAD对于函数f (x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，A正确；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，B错误；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，C错误对于函数(x)ln x，它的图象(图略)只经过一个整点(1，0)，所以它是一阶整点函数，D正确故选AD8(2020南宁模拟)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就
13、，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD2，ED1，若鳖臑PADE的体积为1，则阳马PABCD的外接球的表面积等于()A17 B18 C19 D20A设PAx，三棱锥PADE的体积为1，ADDE且AD2，ED1，VPADE21x1，解得PAx3.又PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，四棱锥PABCD补形为正四棱柱(图略)，则阳马PABCD的外接球直径等于体对角线PC，PC，外接球半径r，外接球的表面积为417.9多选(2020淄博模拟)已知集合
14、M(x，y)|yf (x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M，使得x1x2y1y20，则称集合M是“垂直对点集”则下列四个集合是“垂直对点集”的为()AM(x，y)|ysin x1BNCP(x，y)|yex2DQ(x，y)|ylog2xAC对于A，C中的函数，结合它们的图象可知，过原点的任意一条直线l都与它们的图象相交，且存在过原点的直线l，使得ll，并与A，C中的函数的图象相交，故A，C满足题意；对于B，y的图象是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90，所以对于任意的(x1，y1)N，不存在x2，y2)N，使得x1x2y1y20，所以B不满足题意；对于D，在函数ylo
15、g2x的图象上取点(1，0)，找不到(x2，y2)Q，使得1x20y20，所以D不满足题意，所以答案为AC10(2020南昌模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面(与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线的离心率为()A B C D2A设与平面平行的平面为，以AC，BD的交点在平面内的射影为坐标原点，两圆锥的
16、轴在平面内的射影为x轴，在平面内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)根据题意可设双曲线：1(a0，b0)由题意可得双曲线的渐近线方程为yx，则，所以离心率e.故选A11(2020广东四校联考)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前N项和为M，且满足：N80，M是2的整数次幂，则满足条件的最小的N为()A21 B91 C95 D101C由题意，数列分段给出，第n段是首项为1、公比为2的n项等比数列，因此前n段包含的项数为12n，这些项的和为20(2021
17、)(20212n1)(211)(221)(2n1)2n1n2.设所求的N项中包含完整的n段等比数列以及第n1段等比数列的前k项，则Nk80，20212k1n2，kn1，且使得N取值最小这等价于求n和k满足Nk80，n32k，k80且取值最小，只需求k的最小值，使得N80，当k3时，N1880，此时，n13.故满足条件的最小的N为95.故选C12(2020长春模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且，下列关系中正确的是()ABCDA在如图所示的正五角
18、星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且.在A中，故A正确；在B中，故B错误；在C中，故C错误；在D中，若，则0，不合题意，故D错误故选A13(2020太原模拟)某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程(单位：公里)平均耗电量(单位：kWh/公里)剩余续航里程(单位：公里)2019年1月1日4 0000.1252802019年1月2日4 1000.126146(注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量，剩余续航里程)下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是()A等于12.5B12.5到1
19、2.6之间C等于12.6 D大于12.6D法一：在两次记录的时间段内，累计里程差为100公里，所以这100公里的耗电量应估计为两次记录的累计耗电量的差由已知可知：累计耗电量平均耗电量累计里程，所以100公里耗电量估计为：0.1264 1000.1254 00016.6(kWh)法二：利用1月1日和1月2日两天的剩余电量差也可以进行估计，因为两次记录的累计里程差为100公里由题意知，剩余电量剩余续航里程平均耗电量，所以100公里耗电量估计为： 0.1252800.12614616.604(kWh)故选D14(2020南昌模拟)自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等
20、，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机二进制以2为基数，只用0和1两个数码表示数，逢2进1，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如(521)10129028027026025024123022021120(1000001001)2.我国数学史上，对数制的研究不乏其人，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口诀：(77)8(61)8，(76)8(52)8，(75)8(43)8，.类比二进制与十进制转化的运算，数(1010011100)2对应八进制数为()A(446)8 B(1134)8 C(1234)8 D(4321)
21、8C(1010011100)2129127124123122(668)10，(668)10183282381480(1234)8.15(2020淄博模拟)中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制大衍历时，发明了二次不等间距插值算法：若函数yf (x)在xx1，xx2，xx3(x1x2x3)处的函数值分别为y1f (x1)，y2f (x2)，y3f (x3)，则在区间x1，x3上f (x)可以用二次函数来近似代替，即f (x)y1k1(xx1)k2(xx1)(xx2)，其中k1，k，k2.若令x10，x2，x3，请依据上述算法，估算sin的值是()A BCDC令yf (
22、x)sin x，则k1，k，k2，所以sin x0(x0)(x0)x2x，故sin，故选C16(2020东营模拟)2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，有5项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”若从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为()A B C DA法一：由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域记“
23、从这15项世界互联网领先科技成果中任选3项，至少有一项属于芯片领域”为事件A，则为“选出的3项都不属于芯片领域”，因为P()，所以P(A)1P()1.法二：由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域记“从这15项世界互联网领先科技成果中任选3项，至少有一项属于芯片领域”为事件A，x为选出的3项中，属于“芯片领域”的项数，则P(A)P(x1)P(x2)P(x3). 17多选(2020泰安模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f (x)，存在一个点x0，使
24、得f (x0)x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()Af (x)ln xBf (x)x22x3Cf (x)Df (x)xBC对于选项A，由于xx1ln x，所以ln xx无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于选项B，令x22x3x，得x2x30，因为14(3)0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于选项C，当x1时，令2x21x，得x或x1，从而该函数为“不动点”函数；对于选项D，令xx，得0，无解，因而该函数不是“不动点”函数故选BC18(2020滨州模拟)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨
25、水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)3如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸因为积水深9寸，所以水面半径为10寸，则盆中水的体积为9(62102610)588(立方寸)，所以平均降雨量为3(寸)19(2020贵阳模拟)数式1中省略号“”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式t(t0)，则1t，t2t10，取正值得t.用类似方法可得_.4根据已知代数式的求值方法，令m(m0)，两边平方得，12m2，即12mm2，解得m4(
26、3舍去)20(2020威海模拟)“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”用现在的语言表述为：如图所示，一圆柱形木材埋在墙壁中，AB1尺，D为AB的中点，ABCD，CD1寸，则圆柱底面圆的直径为_寸(1尺10寸)26如图，设圆柱底面圆的圆心为O，连接AO，OD，由题意知ODAB，AD5寸，CD1寸在RtAOD中，OA2OD2AD2，OA2(OA1)252，OA13寸，圆柱底面圆的直径为2AO26寸21(2020洛阳尖子生第一次联考)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象
27、征如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足yf (t)Rsin(t)，则下列叙述正确的是_(填序号)R6，；当t35，55时，点P到x轴的距离的最大值为6；当t10，25时，函数yf (t)单调递减；当t20时，|PA|6.由题意可知T60，所以60，解得，又从点A(3，3)出发，所以R6，6sin 3，又|，所以，故正确；y6sin，当t35，55时，t，则sin1，0，y6，0，点P到x轴的距离为|y|，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故正确；当t10，25
28、时，t，所以函数y6sin在10，25上不单调，故不正确；当t20时，t，则y6sin6，且x6cos0，所以P(0，6)，则|PA|6，故正确综上，正确的是.22(2020聊城模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，且过点(2，2)若直线y0与y6在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为_6设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由题意得解得a21，b24
29、，则双曲线C的方程为x21.作直线ym(0m6)，交双曲线C于点E，交渐近线于点D，交y轴于点P(图略)，则D，E，|PE|2|PD|2.根据祖暅原理，可得几何体与底面积为，高为6的柱体体积相等，即为6.23一题两空(2020日照模拟)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1 000元，则B，C所分得奖金分别为800元、640元某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68 780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金36
30、 200元，则衰分比为_，丁所获得的奖金为_元10%14 580设甲、乙、丙、丁所得奖金分别为a元，b元，c元，d元，衰分比为t，则由题意可得a，b，c，d成公比为(1t)的等比数列由题意得即所以1t0.9，得t0.110%，故d14 580.24(2020临沂模拟)在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙某雕刻师计划在底面边长为2 m，高为4 m的正四棱柱形的石料ABCDA1B1C1D1中，雕出一个四棱锥OABCD和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重_kg.(其中3.14，石料的密度2.4 g/cm3，质量mV)21 952由题意得正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V122416(m3)，正四棱锥OABCD的体积V2222(m3)，分析知球M的半径r的最大值为1，此时球M的体积V3r313(m3)，故去除石料的体积VV1V2V316(m3)又2.4 g/cm32 400 kg/m3，故去除石料的质量mV2 40021 952(kg)