1、数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为,集合,则（ ）A B C D2. 复数（ ）A B C D3. 已知等差数列的前项和为,若,则（ ）A B C D4. 运行如图所示的程序框图, 则输出的值为 （ ）A B C D5. 如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C D6. 两个随机变量的取值表为（ ）若具有线性相关关系，且，则下列四个结论错误的是A与是正相关B当时，的估计值为C每增加一个单位，的增加个单位D样本点的残差为7.
2、若偶函数对任意都有，且当时，则 （ ）A B C D8. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点,则的周长最大值等于（ ）A B C D9. 为了研究钟表与三角函数的关系, 以点与点所在直线为轴, 以点与点为轴, 设秒针尖指向位置.若初始位置为,秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动, 则点的纵坐标 与时间(秒) 的函数关系为（ ）A BC D10. 在三棱锥中, 已知,则三棱锥外接球的表面积为（ ）A B C D11. 设分别为双曲线的左, 右焦点, 若在双曲线右支上存在一点,满足,且点到直线的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的离心率为（ ）A B C D12. 定义在上的函数满足,且对任意
3、的,都有,则不等式的解集为（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知非零向量满足,且,则向量在向量方向上的投影是 14. 的展开式中的系数是 15. 设实数、满足不等式组,则的最大值是 16. 已知数列满足,则 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在中, 角的对边分别为,满足.（1）求角；（2）若的面积为,且,请判断的形状, 并说明理由.18. （本小题满分12分）如图, 四棱柱中, 侧棱底面为棱的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.19. （本小题满
4、分12分）某省高中男生身高统计调查数据显示：全省名男生的身高服从正态分布,现从该省某校高三年级男生中随机抽取名测量身高, 测量发现被测学生身高全部介于和之间, 将测量结果按如下方式分组：第一组第二组,第组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）估计该学校高三年级男生的平均身高；（2）求这名男生身高在以上 (含)的人数；(3) 在这名男生身高在以上含()的人中任意抽取人, 该人中身高排名(从高到低)在全省前名的人数记为,求的分布列和数学期望.参考数据：若,则,20. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点到焦点的距离为,过点作直线与抛物线交于两点, 其中.（1）若直线的斜率为,过两点的圆
5、与抛物线在点处有共同的切线, 求圆的方程；（2）若,是否存在异于点的点,使得对任意,都有,若存在, 求点坐标；不存在, 说明理由.21. （本小题满分12分）设函数.（1）若函数在处的切线与轴相交于点,求的值；（2）当时, 求证：.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 正方形边长为,以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点,连结并延长交于点.（1）求证：；（2）求的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 且两个坐标系取相等的长度
6、单位建立坐标系. 已知直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为为参数).（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）,设直线与曲线相交于、两点, 求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等；（2）若且,证明：.山西省运城市2016届高三4月模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CABBC 6-10.DBCCA 11-12.DC 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1）,由正弦定理, 得,而,在中, 所以是等边三角形.18. 解：由已知、两两垂直, 以点为原点分别为轴建立
7、空间直角坐标系, 依题意得.（1）证明：易得,于是.（2）,设平面的法向量,则,即,消去,得,不妨令,可得一个法向量,由（1）,又,可得平面,故,为平面一个法向量. 于是,二面角为锐二面角,故二面角的余弦值.19. 解：（1）由直方图可知这名男生平均身高为,估计该校高三年级男生的平均身高为.（2）由频率分布直方图知, 后两组频率为,人数为,即这名男生身高在以上(含)的人数为人.(3), 而,所以全省名的身高在以上, 这人中以上有人, 随机变量可取得, 于是,的分布列为 .20. 解：（1）由已知得.直线和轴交于点,由得点、的坐标分别是、,又由得,所以抛物线在点处切线的斜率为,设圆的方程是,则,
8、解之得,所以圆的方程是.即.（2）依题意, 可设直线的方程为代入抛物线方程得,所以 . 由已知得,若,这时,要使点必在轴上. 设点的坐标是,从而 ,.即：,得, 将代入得,所以存在点使得.21. 解：（1）由题知,即,解得.（2）令,当时, 函数在上单调递增；当时, 函数在上单调递减；,当,即时, 即,故时, 在上单调递增, 即.,即 +：得：,故当时, 得证.22. 解：（1）由以为圆心为半径作圆, 而为正方形, 为圆的切线, 依据切割线定理得.另外圆以为直径, 为圆的切线, 同样依据切割线定理得,故. （2）连结为圆为直径, ,由得,又在中, 由射影定理得.23. 解：（1）由可得曲线的普通方程为：,由可得直线的直角坐标方程为.（2）很明显在直线上, 故有直线的参数方程为为参数) ；则求即需找到对应的值即可. 把代入得：,所以有：,即.24. 解：（1）原不等式等价于,当时, 不等式化为,解得,当时, 不等式化为,解得,无解, 当时, 不等式化为,解得,综上所述, 不等式的解集为.（2）证：,即展开得.