1、专题三 阅读理解问题 1.主要类型:(1)新定义问题型.(2)新解题方法型.(3)新公式应用型.2.规律方法(1)阅读理解问题一般都是先提供一种解题思路,或介 绍一种解题方法,或展示一个数学结论的推导过程等文 字或图表材料,然后要求大家自主探索,理解其内容、思想方法,把握本质,解答试题中提出的问题.这类题的 求解步骤是“阅读分析理解创新应用”,其关键是理解材料的含义和作用.(2)新定义、新概念类型题目的解题关键是阅读、理解定义的内涵与外延,即定义成立的条件和运算的新规则,将一个新问题按照既定的规则把它转化为一个旧问题,通俗地讲就是“照葫芦画瓢”.3.渗透的思想:数形结合、转化思想、整体思想等.
2、类型一 新定义问题型【考点解读】1.考查范畴:新定义问题型包括新定义概念和新定义运算.2.考查角度:设计一组对新概念或运算的阅读材料,借助新的方法解决问题.【典例探究】【典例1】(2019重庆中考A卷)道德经中的“道 生一,一生二,二生三,三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中,我们会对其中一些具有某种特性的 数进行研究,如学习自然数时,我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然 数“纯数”.定义;对于自然数n,在计算n+(n+1)+(n+2)时,各数位都不产生进位,则称这个自然数n为“纯数”,例如:32是“纯数”,因为计算32+33+34时,各数位都不产生进位
3、;23不是“纯数”,因为计算23+24+25时,个位产生了进位.(1)判断2 019和2 020是否是“纯数”?请说明理由;(2)求出不大于100的“纯数”的个数.【思路点拨】(1)根据题目中的新定义可以解答本题,注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”.(2)根据题意可以推出不大于100的“纯数”的个数,本题得以解决.【自主解答】(1)2 019不是“纯数”,2 020是“纯数”,理由:当n=2 019时,n+1=2 020,n+2=2 021,个位是9+0+1=10,需要进位,2 019不是“纯数”;当n=2 020时,n+1=2 021,n+2=2 022,个位是0+1+2=3,不需要
4、进位,十位是2+2+2=6,不需要进位,百位为0+0+0=0,不需要进位,千位为2+2+2=6,不需要进位,2 020是“纯数”.(2)由题意可得,连续的三个自然数个位数字是0,1,2,其他位的数字为0,1,2,3时,不会产生进位,当这个数是一位自然数时,只能是0,1,2,共三个,当这个自然数是两位自然数时,十位数字是1,2,3,个位数是0,1,2,共九个,当这个数是三位自然数时,只能是 100,由上可得,不大于100的“纯数”的个数为3+9+1=13,即不大于100的“纯数”有13个.【规律方法】解决新定义运算问题的方法技巧 1.明白这是一种特殊运算符号,常用,&,等来表示一种运算.2.正确
5、理解新定义运算的含义,严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算,然后进行计算.3.在新定义的算式中,有括号的要先算括号里面的.【题组过关】1.定义一种新运算,观察下列式子:13=14+3=7;3(-1)=34-1=11;54=54+4=24;4(-3)=44-3=13.(1)请你想一想:ab=.(2)若ab,则ab ba(填入“=”或“”)(3)若a(-2b)=4,请计算(a-b)(2a+b)的值.【解析】(1)4a+b(2)(3)a(-2b)=4a-2b=4,2a-b=2.(a-b)(2a+b)=4(a-b)+(2a+b)=4a-4b+2a+b=6a-3b=3(2a-b)=32=6.2.阅读
6、理解题:规定如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫做复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如:计算(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i;(1+i)(2-i)=12-i+2i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i.根据以上信息,完成下列问题:(1)填空:i3=,i4=.(2)计算:(1+i)(3-4i).(3)计算:i+i2+i3+i2 020.【解析】(1)i3=i2i=-1i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1.答案:-i 1(2)(1+
7、i)(3-4i)=3-4i+3i-4i2=3-i-4(-1)=7-i.(3)i+i2+i3+i2 020=i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)+1=0.类型二 新解题方法型【考点解读】1.考查范畴:新解题方法型分为以例题形式或新知识的形式给出的新方法两种.2.考查角度:设计一组材料或例题,通过阅读体会新方法的实质,然后解决相关问题.【典例探究】典例2(2019济宁中考)阅读下面的材料:如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,(1)若x1x2,都有f(x1)f(x2),则称f(x)是增函数;(2)若
8、x1f(x2),则称f(x)是减函数.例题:证明函数f(x)=(x0)是减函数.证明:设0 x1x2,f(x1)-f(x2)=0 x10,x1x20.0.即f(x1)-f(x2)0.2112126x6x66xxx x21126(xx)x x6x21126(xx)x xf(x1)f(x2).函数f(x)=(x0)是减函数.根据以上材料,解答下面的问题:已知函数f(x)=+x(x0),f(-1)=+(-1)=0,f(-2)=+(-2)=.6x21x21(1)21(2)74(1)计算:f(-3)=,f(-4)=;(2)猜想:函数f(x)=+x(x0)是 函数(填“增”或“减”);(3)请仿照例题证明
9、你的猜想.21x【思路点拨】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题;(2)由(1)结论可得;(3)根据题目中例子的证明方法可以证明(2)中的猜想成立.【自主解答】(1)f(x)=+x(x0),f(-3)=,f(-4)=答案:21x21263(3)921634(4)16，6316269(2)-4-3,f(-4)f(-3),函数f(x)=+x(x0)是 增函数.答案:增 21x(3)设x1x20,f(x1)-f(x2)=-x2=(x1-x2),x1x20,x1-x20,x1+x20,f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2),函数f(x)=+x(x0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊
10、桥”函数y=|x2-2x-3|的图 象(如图所示),并写出下列五个结论:图象与坐标轴 的交点为(-1,0),(3,0)和(0,3);图象具有对称性,对 称轴是直线x=1;当-1x1或x3时,函数值y随x值 的增大而增大;当x=-1或x=3时,函数的最小值是0;当x=1时,函数的最大值是4.其中正确结论的个数是 _.世纪金榜导学号 4 2.先阅读理解下面的例题,再按要求解答.例题:解一元二次不等式x2-90.解:x2-9=(x+3)(x-3),(x+3)(x-3)0.由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有(1)(2)解不等式组(1),得x3,解不等式组(2),得x0的解集为x3或x0的解集
11、为x3或x-3.问题:求分式不等式 0的解集.5x12x3【解析】由有理数的除法法则“两数相除,异号得负”,有(1)(2)解不等式组(1),得 解不等式组(2),得无解.故分式不等式 0)的图象如图所示.求证:该函数的 图象上不存在点C,使d(O,C)=3.(3)函数y=x2-5x+7(x0)的图象如图所示,D是图象 上一点,求d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标.4x【问题解决】(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)【思路点拨】(1)
12、根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3;由两点间距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|及点B是函数y=-2x+4的图象上的一点,可得出方程组,解方程组即可求出点B的坐标;(2)由条件知x0,根据题意得x+=3,整理得x2-3x+4=0,由0可证得该函数的图象上不存在点C,使 d(O,C)=3.(3)根据条件可得|x|+|x2-5x+7|,去绝对值后由二次函 数的性质可求出最小值.4x(4)以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H
13、,修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处,可由d(O,P)d(O,E)证明结论即可.【自主解答】略【规律方法】新公式应用型题目解答技巧 解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识,理解其本质,把它与已学的知识联系起来,把新的问题转化为已学的知识进行解决.【题组过关】1.(2019深圳中考)定义一种新运算:=an-bn,例如:=k2-h2,若 =-2,则m=()A.-2 B.C.2 D.an 1b n xdxkh 2 xdxm25m x dxB 25252.阅读理解:在平面直角坐标系中,若P,Q两点的坐标分 别是P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q这两点间的距离为|P
14、Q|=.如P(1,2),Q(3,4),则|PQ|=221212(xx)(yy)22(13)(24)2 2.对于某种几何图形给出如下定义:符合一定条件的动点形成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.解决问题:如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直线 y=kx+交y轴于点A,点A关于x轴的对称点为点B,过点 B作直线l平行于x轴.世纪金榜导学号 12(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是 .(2)若动点C(x,y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度,求动点C轨迹的函数解析式.【解析】(1)以A为圆心,AB长为半径的圆.(2)设点C到直线l的距离为d.直线y=kx+交y轴于点A,令x=0得y=,即 A ,|CA|=12121(0)2，221(x0)(y).2 点B关于x轴与点A对称,B ,动点C到直线l的距离为 .x2+,动点C轨迹 的函数解析式为y=x2.1(0,)21|y|22211(y)(y)22 12