1、专题复习突破篇 专题一 规律探索问题 1.主要类型:(1)数式规律(2)图形规律(3)点的坐标规律 2.规律方法:(1)规律探索问题的结论不是直接给出的,而是要根据具有某种特定关系的数、式、图形、坐标,或是给出与图形有关的操作、变化过程,通过观察、分析、推理,探求其中所蕴涵的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.(2)探索等式规律的一般步骤:标序数;对比式子与序号,即分别比较等式中各部分与序数(1,2,3,4,n)之间的关系,把其隐含的规律用含序数的式子表示出来,通常方法是将式子进行拆分,观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系;根据找出的规律得出第n个等式,并进行检验.(3)探索面积规律
2、的一般步骤:根据题意可得出第一次变换前图形的面积S;通过计算得到第一次变换后图形的面积,第二次变换后图形的面积,第三次变换后图形的面积,归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系;根据找出的规律,即可求出第M次变换后图形的面积.3.渗透的思想:转化思想、数形结合等.类型一 数式规律【考点解读】1.考查范畴:数式规律探究包括数字规律探究和代数式规律探究.2.考查角度:设计一组数字或式子,对其变化过程中的符号、绝对值和式子特点进行探究.【典例探究】【典例1】(2019自贡中考)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+22 017+22 018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+
3、22 017+22 018 则2S=2+22+22 018+22 019-得2S-S=S=22 019-1,S=1+2+22+22 017+22 018=22 019-1,请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+29=.(2)3+32+310=.(3)求1+a+a2+an的和(a0,n是正整数,请写出计算过程).【思路点拨】(1)利用题中的方法设S=1+2+22+29,两边乘以2得到2S=2+22+210,然后把两式相减计算出S即可.(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+310,两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+311,然后把两式相减计算出S即可.(3)利
4、用(2)的方法计算.【自主解答】略【规律方法】(1)解决数式变化规律的问题一般从特殊情况入手,观察分析数式之间的内在联系,归纳出数式之间的规律,并用含序数的代数式表示出来.(2)如果已知序数求规律中的数,也就是求关于序数的代数式的值;如果已知规律中的数求序数,一般根据序数的代数式的值列方程求解.【题组过关】(2019济宁中考)已知有理数a1,我们把 称为a 的差倒数,如:2的差倒数是 =-1,-1的差倒数是 .如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒 数,a4是a3的差倒数以此类推,那么a1+a2+a100的 值是()11 a11 2111(1)2 A A.-7.5 B.7.5 C
5、.5.5 D.-5.5 类型二 图形规律【考点解读】1.考查范畴:图形规律探究包括图形个数规律探究、图形面积或周长规律探究.2.考查角度:设计一组图形,针对图形的变化规律,探究图形个数、面积或周长,通过分析其变化规律解决问题.【典例探究】典例2观察下列图形,它是把一个三角形分别连接其三边中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图1):对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,将这种做法继续下去(如图2,图3).观察规律解答以下各题:(1)填写下表 图形序号 挖去三角形的个数 图1 1 图2 1+3 图3 1+3+9 图4 (2)根据这个规律,求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式
6、表示).(3)若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1,求fn+1-fn.【思路点拨】(1)由图1挖去中间的1个小三角形,图2挖去中间的(1+3)个小三角形,图3挖去中间的(1+3+32)个小三角形,据此可得.(2)由(1)中规律可知fn=3n-1+3n-2+32+3+1.(3)将fn+1=3n+3n-1+32+3+1减去fn=3n-1+3n-2+32+3+1即可得.【自主解答】(1)图1挖去中间的1个小三角形,图2挖去中间的(1+3)个小三角形,图3挖去中间的(1+3+32)个小三角形,则图4挖去中间的(1+3+32+33)个小三角形,即图4挖去中间的40个小三角形,答案:1+3+32+33(
7、2)由(1)知,图n中挖去三角形的个数fn=3n-1+3n-2+32+3+1.(3)=3n+3n-1+32+3+1,fn=3n-1+3n-2+32+3+1,-fn=3n.n 1f n 1f【规律方法】(1)标序号:记每组图形的序号为1,2,3,n.(2)数图形的个数:在图形数量变化时,要记住每组图形表示的个数.(3)寻找图形数量与序号n的关系:针对寻找第n个图形表示的数量时,先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比较,推导出第n个图形的个数.(4)验证:代入序号验证所归纳的式子是否正确.【题组过关】1.(2019枣庄中考)如图,小正方形是按一定规律摆放 的,下面四个选项中的图片,适合填补图
8、中空白处的是 ()D 2.(2019甘肃中考)如图,每一幅图中有若干个大小不 同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n幅图中有2 019个菱形,则n=_.1 010 类型三 点的坐标规律【考点解读】1.考查范畴:点的坐标规律探究包括点的坐标变换在直角坐标系中的递推变化和点的坐标变化在坐标轴上或象限内的循环递推变化.2.考查角度:点的坐标变换依附数形变换,借助图形的有规律变换,探究点的坐标的变化规律.【典例探究】典例3(2019广安中考)如图,在平面直角坐标系中,点 A1的坐标为(1,0),以OA1为直角边作RtOA1A2,并使 A1OA2=60,再以
9、OA2为直角边作RtOA2A3,并使 A2OA3=60,再以OA3为直角边作RtOA3A4,并使 A3OA4=60按此规律进行下去,则点A2 019的坐标为 _.2 0172 017(223)，【思路点拨】通过解直角三角形,依次求A1,A2,A3,A4,各点的坐标,再从其中找出规律,便可得结论.【规律方法】(1)根据图形的变化规律分别求出第1个点,第2个点,第3个点的坐标,找出点的坐标与序号之间的关系,归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系.(2)若坐标是循环变换,应先确定循环一周的变换次数,然后用总次数除以变换次数来确定点的坐标.【题组过关】(2019菏泽中考)在平面直角坐标系中,一个智能机 器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上向右向 下向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长 度,其移动路线如图所示,第一次移动到点A1,第二次移 动到点A2第n次移动到点An,则点A2 019的坐标是 世纪金榜导学号()C A.(1 010,0)B.(1 010,1)C.(1 009,0)D.(1 009,1)
