1、1.2 函数的极值A组基础巩固1下列结论中正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值C如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值解析:结合函数极值的定义可知答案:B2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在区间(a,b)上的图像如图所示,则函数yf(x)在(a,b)上极大值点的个数为()A4B3C2 D1解析:极大值点在导函数f(x)的零点处,且满足零点的左侧为正,右侧为负,由导函数的图像可知这样的极值点共有3个
2、答案:B3下列四个函数:yx3;yx21;y|x|;y2x.在x0处取得极小值的函数是()A BC D解析:作出函数的大致图像,由图像可分析出结论;也可以用排除法,因为是单调函数,无极值,即可排除A、C、D,故应选B.答案:B4函数y13xx3有()A极小值1,极大值1 B极小值2,极大值3C极小值2,极大值2 D极小值1,极大值3解析:由y13xx3,得y3x23.令y0,即3x230,x1.当x1时,有y极大值1313;当x1时,有y极小值1311.答案:D5若函数f(x)x2x在x0处有极小值,则x0等于()A. BCln 2 Dln 2解析:f(x)2xx2xln 2,令f(x)0,得
3、x.当x时f(x)时,f(x)0.当x时,函数f(x)取极小值答案:B6函数yx3x2x1在x_处取极大值解析:y3x22x1(3x1)(x1)当1x时,y或x0.函数在x1处取极大值答案:17函数f(x)ax1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_解析:f(x)a,当a0时,f(x)0),f(x)令f(x)0,解得x1或x(舍去)当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)在(1,)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3,无极大值10设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x),若函数f(x)的图像关于直线x对称,且f(1)0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值解
4、析:(1)因为f(x)2x3ax2bx1,所以f(x)6x22axb,从而f(x)62b,即f(x)的图像关于直线x对称则,即a3.由f(1)0,即62ab0,得b12.(2)由(1),知f(x)2x33x212x1,f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0,即6(x1)(x2)0,解得x2或x1.当x(,2)时,f(x)0,即f(x)在(,2)上单调递增;当x(2,1)时,f(x)0,即f(x)在(1,)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值,f(x)极大值f(2)21,在x1处取得极小值,f(x)极小值f(1)6.B组能力提升1如图是函数yf(x)x3bx2cxd的大致图
5、像,则xx()A. B.C. D.解析:由图像可得f(x)x(x1)(x2)x3x22x,且x1,x2是函数f(x)的两个极值点,所以x1,x2是f(x)3x22x20的两根,所以x1x2,x1x2,故xx(x1x2)22x1x222.答案:C2设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析:由函数的图像,可知f(2)0,f(2)0,并且当x
6、0;当2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0,故函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)答案:D3函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数,极小值为负数,则a的取值范围是_解析:f(x)3x23a23(xa)(xa),由f(x)0,得ax0,极小值为f(a)a(12a2).答案:4函数f(x)x33x29x3,若函数g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点,则m的取值范围为_解析:f(x)3x26x9,令f(x)0得x11,x23.易知,由题意知,g(x)在2,5上与x轴有三个交点,所以解得1m8,即m的取值范围为1,8)答案:1,8)5已知函数f(x)x3m2
7、x(m0)(1)当f(x)在x1处取得极值时,求函数f(x)的解析式;(2)当f(x)的极大值不小于时,求m的取值范围解析:(1)因为f(x)x3m2x(m0),所以f(x)x2m2.因为f(x)在x1处取得极值,所以f(1)1m20(m0),所以m1,故f(x)x3x.(2)f(x)x2m2.令f(x)0,解得xm.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,m)m(m,m)m(m,)f(x)00f(x)极大值极小值由上表,得f(x)极大值f(m)m3,由题意知f(x)极大值,所以m31,解得m1.故m的取值范围是1,)6已知函数f(x)ax2ex(aR,e为自然对数的底数),f(
8、x)是f(x)的导函数(1)解关于x的不等式f(x)f(x);(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围解析:(1)由题意,知f(x)2axex,所以f(x)f(x)ax(x2)当a0时,不等式f(x)f(x)0无解;当a0时,不等式f(x)f(x)0的解集为(,0)(2,);当a0的解集为(0,2)(2)设g(x)f(x)2axex,则x1,x2是方程g(x)0的两个实数根,且g(x)2aex.当a0时,g(x)0时,由g(x)0,得xln 2a,当x(,ln 2a)时,g(x)0,所以g(x)在(,ln 2a)上单调递增,当x(ln 2a,)时,g(x)0时,方程g(x)0才能有两个实数根,所以g(x)maxg(ln 2a)2aln 2a2a0,得a,故实数a的取值范围是.