1、复数的乘法与除法一. 教学内容: 复数的乘法与除法 补充:共轭复数的性质以及复数的模的性质二. 重点、难点: 1. 复数的乘法法则: 即两个复数相乘,按照多项式相乘的法则进行,只需注意把i2换成1,并且把实部、虚部分别合并。 2. 按照以上的乘法法则,可知复数的乘法满足交换律、结合律,这一点容易证明。(建议同学们自己证明) 另外,正整数指数幂的运算律也可以推广到复数集中,即 即:互为共轭复数的两个复数的积,等于其中一个复数的模的平方。 这样,在实数集内不能分解的因式到复数集内仍可分解。 5. 复数的除法法则 两个复数相除,把商式的分子,分母同乘以分母的共轭复数,并把结果化简后,实部、虚部分离,
2、即把商式分母实数化的过程。 6. 关于共轭复数的运算性质: 7. 关于复数的模的性质: 【典型例题】 例1. 计算: 解: 例2. 在复数集内分解因式: 解: 例3. 解: 注:求一个复数的平方根,只需利用平方根的定义,以及复数相等的条件,即可把问题转化为已知的问题。 例4. 分析:只需把z1i代入关于z的表达式,即可经过复数的乘除加减运算,得到复数,进一步根据模的定义,求出|。 注意:由于的表达式中关于z的运算除了乘除运算外,还包含加减运算,因此无法运用模的运算性质求值。 解: 例5. 解:可直接利用复数模的运算性质,以简化运算。 例6. 分析:的方程,再根据方程的类型判断动点轨迹或联想到前
3、述定理: 进一步利用共轭的性质化简,变形,也可得到z的方程,进而判断动点轨迹。 解法一: 解法二: 注:解法一是求轨迹方程的基本方法,采取了化虚为实的手法;而解法二则应利用复数共轭的性质,采用了一定的变形技巧,得到了动点轨迹的复数形式的方程,也不失为一种较好的方法。 例7. 分析: 程的几何意义上分析问题。 证法一: 证法二: 【模拟试题】一. 选择题: 1. “”是“”的( )条件 A. 充分不必要B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要 2. 设,则( ) A. B. C. D. 3. 计算的结果为( ) A. B. C. 1D. 4. 若,则z对应的点的轨迹是( ) A. 圆B
4、. 两点C. 线段D. 直线 5. 复数,且,则是( ) A. 实数B. 纯虚数C. 非纯虚数D. 复数二. 填空题: 6. 计算:_ 7. 计算:_ 8. 的模等于_ 9. 在复数集内分解因式:_ 10. 若,且,则_三. 解答题: 11. 若复数z满足,且为纯虚数,求z。 12. 若复数z满足,求证: 13. 若复数z满足,求的最大、最小值。【试题答案】一. 选择题: 1. A 提示:若为共轭复数,则,但若,如,满足,但与不能互为共轭复数,因此应选A。 2. C 提示:由知 或 故选C 3. D 提示:由幂的运算法则,有 这里用到了的周期性结论。 4. A 提示:设,则 即 即,这是以为圆
5、心,以2为半径的圆的方程。 5. B 提示:设(由,知) 二. 填空题: 6. 原式 提示:由的周期性,得,可见原式,或把看作是一个公比为i的等比数列,则原式。 7. 原式 提示:注意利用简化运算 8. 模为13 9. 10. 提示:设,则 又 则有联立得 即 三. 解答题: 11. 解:设 12. 证明:设 13. 解法一:数形结合法 设,则 化简,得 表示点到原点O(0,0)的距离,而点(x,y)在圆C上 由平面几何知识,可知|z|的最大值为,最小值为 解法二:利用复数的模的性质 即,去绝对值,得 解这个关于的不等式,得 当时,上式取等号 由,把代入 得,解得或 当时,取最大值; 当时,取最小值