1、课时作业6函数的奇偶性与周期性一、选择题1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是(B)Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)cosx解析：函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于(A)A3 BC. D3解析：由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.3已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(D)yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A BC D解析：由奇函数的定义f(x)f(
2、x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知符合题意，故选D.4函数f(x)满足f(x1)f(x)，且当0x1时，f(x)2x(1x)，则f的值为(A)A. B.C D解析：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)的周期为2.fff2.5已知f(x)2x为奇函数，g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则f(ab)(D)A. B.C D解析：根据题意，f(x)2x为奇函数，则f(x)f(x)0，即0，解得a1.g(x)bxlog2(4x1)为偶函数，则g
3、(x)g(x)，即bxlog2(4x1)b(x)log2(4x1)，解得b1，则ab1，所以f(ab)f(1)21.6已知函数f(x)asinxblnt，若ff6，则实数t(D)A2 B1C1 D3解析：令g(x)asinxbln，易知g(x)为奇函数，所以gg0，则由f(x)g(x)t，得ffgg2t2t6，解得t3.故选D.7已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x(0,1)时，f(x)3x1，则f(D)A.1 B.1C1 D1解析：因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(x2)f(x)f(x)，所以fffff.又当x(0,1)时，f(x)3x1，所以f1，f1.8(多选题)已知定
4、义域为I的偶函数f(x)在(0，)上单调递增，且x0I，f(x0)0，则下列函数中不符合上述条件的是(ABD)Af(x)x2|x| Bf(x)2x2xCf(x)log2|x| Df(x)x解析：xR，f(x)x2|x|0，故A不符合条件；函数f(x)2x2x是定义在R上的奇函数，故B不符合条件；函数f(x)log2|x|是定义在(，0)(0，)上的偶函数，且在(0，)上，f(x)log2x单调递增，x0，f10时，f(x)lnx，则f2，f的值为ln2.解析：由已知可得fln2，所以ff(2)又因为f(x)是奇函数，所以ff(2)f(2)ln2.11若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a
5、.解析：函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln(1e3x)lne3xaxln(e3x1)ax，即3xaxax，所以2ax3x0恒成立，所以a.12设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f1.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)212011.三、解答题13已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；
6、(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10.若在区间(0,9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是，)解析：当x(0,2时，令y，则(x1)2y21，y0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x(0,9)的图象，如图，关于x的方程f(x)g(x)在(0,9上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x(0,1)与f(x)(x(0,1)的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线yk(x2)经过点(1,1)时，k，当直线yk(x2)与半圆(x1)2y21(y0)相切时，1，k或k(舍去)，所以k的取值范围是，)