1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第二课时用空间向量解决垂直关系课时跟踪检测一、选择题1已知平面的法向量n(1,2，2)，平面的法向量m(2,3，k)，若，则k的值为()A2B4C1D解析：由题意，得mn0，262k0，得k2.答案：A2在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则PA与底面ABCD的关系是()A相交 B垂直C不垂直 D成60角解析：因为0，0，所以AP平面ABCD.答案：B3若n(1，2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是()A(1，2,0) B(0，2,2)C(2，4,4) D(2,
2、4,4)解析：(2，4,4)2(1，2,2)2n，(2，4,4)与n平行，故可作为平面的法向量答案：C4(2018保定高二检测)若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上均有可能解析：cosn1，n20，且cosn1，n21，与相交但不垂直答案：C5在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则CE垂直于()AAC BBDCA1D DAA1解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，B(1,1,0)则(1,1,0)，00，.DBCE.答案：B6已知直线l与平面垂直，直
3、线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6 C9 D9解析：由题意，知uv，所以uv0，即36z0，解得z9.答案：C二、填空题7已知ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，其中(1，m,2)，(2，m，n)(m，nR)，则mn_.解析：由题意，知02m22n0，|1m244m2n2，由，解得mn1.答案：18已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若，则_.解析：(x,1，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，则由，可得.答案：9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果
4、(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；APBD.其中正确的是_解析：(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，2(1)(1)2(4)(1)0，APAB，故正确；4(1)220(1)0，APAD，故正确；由知，是平面ABCD的法向量，正确；BD平面ABCD，APBD，不正确答案：三、解答题10在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E.证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，则E(a，x,0)
5、，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.11如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面AMC平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，(0,3,4)，(8,0,
6、0)，由此可得0，所以，即APBC.(2)假设存在满足题意的M，设，1，则(0，3，4)(4，2,4)(0，3，4)(4，23，44)，(4,5,0)设平面BMC的法向量n1(x1，y1，z1)，由得即可取n1.设平面APC的法向量n2(x2，y2，z2)，由得即可取n2(5,4，3)，由n1n20，得430，解得，故AM3.综上所述，存在点M符合题意，AM3.12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB1，ADm，E为BC中点，AEED.(1)求证：平面A1DE平面A1AE；(2)设A1DE的重心为G，问是否存在实数，使得，且MG平面A1ED同时成立？若存在，求出的值；若不存在
7、，说明理由解：(1)证明：以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，A1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0，m,0)，E，AEED，且 ，(0,0, )，10，m2.又0，EDAA1，且AEA，ED平面A1AE.ED平面A1ED，平面A1DE平面A1AE.(2)依题意，G，M(0,2，0)则.假设存在满足题设条件，则0且0.即.13(2019济南模拟)如图，在三棱锥ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DBDC，E为BC的中点，则()A0 B1C2 D3解析：以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示设DCBDa，DAb，则B(a,0,0)，C(0，a,0)，A(0,0，b)，E，(a，a,0)，00.答案：A