1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 26 基本不等式（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 基本不等式的理解与运用；应用基本不等式解决实际问题时条件的把握.二.知识梳理 1.常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2aaRa 当且仅当”取“,0a（2）abbaRba2,22则（3）Rba,，则abba2（4）222)2(2baba 2.最值定理:设xyyxyx2,0.,由（1）如积PyxPxy2(有最小值定值），则积 （2）如积22(）有最大值（定值），则积SxySyx 即:积定和最小，和定积最大 运用最值定理求最值的三要素：一正二定
2、三相等 3.均值不等式:两个正数的均值不等式：abba2 三个正数的均值不等是：33abccba n 个正数的均值不等式：nnnaaanaaa2121 4.四种均值的关系：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是 2211222babaabba 5.双向不等式是：bababa 左边在)0(0 ab时取得等号，右边在)0(0 ab时取得等号 三.考点逐个突破 1.利用基本不等式比较大小 例 1 若 a、b、c、d、x、y 是正实数，且 P ab cd，Q axcybxdy，则 APQ BPQ CPQ DPQ 答案 C 解析 Q axcybxdyabcdadxy bc
3、yx abcd2 abcdabcdP.点评 可用特值法求解，令所有字母全为 1，则 P2，Q2，PQ，排除 D；令 abcd1，x1，y4，则 P4，Q5，P0,y0,x+y=1,求证:(1+x1)(1+y1)9 分析:x+y 常数,xy 可有最大值 证法一:左边(1+x1)(1+y1)=1+x1+y1+xy1=1+xyyx+xy1 =1+xy2 1+2)2(2yx=9右边 (当且仅当 x=y=21 时取“=”号)证法二：令 x=2cos y=2sin,0 2 左边(1+x1)(1+y1)=(1+2cos1)(1+2sin1)=1+2sin1+2cos1+2cos12sin1=1+22coss
4、in2=1+2sin821+8=9右边 02 =4 时，x=y=21 时取等号 证法三：x+y=1 左边(1+x1)(1+y1)=(1+xyx)(1+yyx)=(2+xy)(2+yx)=5+2(xy+yx)5+4=9右边 (当且仅当 x=y=21 时取“=”号)4.基本不等式的实际应用 例 4.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为 Q3x1x1(x0)已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，每生产1 万元此产品仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和(1
5、)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q3)万元，每万件销售价为32Q3Q150%xQ50%，年销售收入为(32Q3Q150%xQ50%)Q32(32Q3)12x，年利润 W32(32Q3)12x(32Q3)x12(32Q3x)x298x35x(x0)(2)令 x1t(t1)，则 Wt2t352t50t232t.t1，t232t 2t232t 8，即 W42，当且仅当t232t，即 t8 时，W 有最大值 42，此时 x7.即当年广告费为 7 万元时，企业利润最大，最大值为 42 万元
