1、衡阳市八中2021届高三第三次月考数学试卷命题人：曾小权 审题人：肖中秋注意事项：本试卷满分为150，时量为120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则下列式子中正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，,所以选项A正确，故选：A 2.在等差数列中，则此数列前项的和是（）ABCD【答案】B【解析】分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.详解：由等差数列的性质可得：，代入已知可得，即，故数列的前项之和故选3.我们将称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫
2、做黄金双曲线，则（ ）A黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项B黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项C黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项D黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项【答案】D【解析】若双曲线为黄金双曲线，则满足，即，即虚轴是实轴与焦距的等比中项.故选：D.4.函数 的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位【答案】A【解析】看图可知周期满足，故，即，所以将向右平移个单位，得到.故选：A.5.已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（ ）ABCD【答案】D【解析】设圆心为C，
3、设直线与圆的交点的坐标为 ，联立 可得：，即， 所以=又，所以圆的半径故选：A6.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，设 则， 当时，的最小值为本题正确选项： 7.在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，设的中点为，的中点为，连接，因为，所以，所以所以为棱锥外接球的球心，设半径为，又，且，所以，则又由，且可证平面，所以，解得所以外接球的表面积故选：B8.对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“
4、控制增长函数”.在以下四个函数中：；.是“控制增长函数”的有（ ）个ABCD【答案】C【解析】对于，可化为，即对一切恒成立，由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，所以，函数不是“控制增长函数”；对于，若函数为“控制增长函数”，则可化为，对一切恒成立，又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；对于，当且为任意正实数时，恒成立，所以，函数是“控制增长函数”；对于，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，若，即，所以，函数是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是.故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
5、目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9下列说法中正确的是（ ）A“”是真命题是“”为真命题的必要不充分条件B命题“，”的否定是“，”C若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真D在中，是的充要条件【答案】BCD【解析】对于A，“”是真命题，则“”一定为真命题，“”是真命题，则“”不一定为真命题，错误；对于B，命题“，”的否定是“，”，正确；对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，正确；对于D，时单调递减，故D正确，故选：BCD10.如图，在直三棱柱中，点，分别是线段，上的动点(不含端点)，且，则下列说法正确的是（ ）A平面B四面体的体积是定值C当点
6、E为的中点时，直线AE与平面所成的角和直线AE与平面所成的角相等D 异面直线与所成角的正切值为【答案】AD【解析】对于A，在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以，所以平面，所以A正确；对于B，设，因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，四面体的体积为，所以四面体的体积不是定值，所以B错误；对于C，可直接判断，显然不对对于D，因为，所以异面直线与所成角为，在中，所以，所以C正确；故选：AD11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）A的图象关于直线对称B的一个周期是C的最大值为2D是区间上的减函数【答案】BD【解析】由，对于A，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，所以的最大值为，当时，取
7、得最大值，所以的最大值为，故C不正确；对于D，在区间上是减函数，且，所以在区间上是减函数；在区间上是增函数，且，所以在区间上是减函数，故D正确；故选：BD12.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是（ ）A的最大值为B当，时，不可能是直角三角形C当，A=2C时，的周长为D当，A=2C时，若O为的内心，则的面积为【答案】ACD【解析】对于A， （当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得， 又，故可得，当且仅当，
8、即三角形为等边三角形时，取得最大值.所以A正确；对于B，因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以B错误；对于C，由A=2C，可得，由得，由正弦定理得，即，所以，化简得，因为，所以化简得，因为，所以，所以，则，所以，所以，因为，所以，所以的周长为，所以C正确；对于D，由C可知，为直角三角形，且，所以的内切圆半径为，所以的面积为所以D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知为整数，复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，则_【答案】【解析】复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，又a为整数，则a=0,故答案为14.已知，则 【
9、答案】【解析】，即， .15.已知抛物线的准线方程为，焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一点，且满足，则_【答案】解：由题可知：抛物线，准线方程，则，有，抛物线方程为：，作准线，交于点,由抛物线的性质得：，设，则，在三角形ABC中，由余弦定理可解得16.设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为_【答案】6，【解析】解：第一空：6第二空：时，在与上的图象关于对称，作出图象如下：不防令，可得，令，则原式化为：，其对称轴，开口向上，故在递增，的取值范围是故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在
10、，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：设是数列的前n项和，且，_，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由【答案】选，存在最大值，且最大值为4；选，存在最大值，且最大值为50；选，不存在最大值，理由见解析【解析】解：选：因为，所以是首项为4，公比为的等比数列所以当为奇数时，因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；当为偶数时，且，综上，存在最大值，且最大值为4选：因为，所以是首项为4，公差为的等差数列所以， 由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，因为，所以的最大值为50选：因为，所以，所以，所以，又，所以， 当时，故不存在最大值18.如图，
11、在梯形ABCD中，ABCD，ADDCBC1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1，设点M在线段EF上运动（1）证明：BCAM；（2）设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为，求的最小值【解析】（1）证明：在梯形ABCD中，因为ABCD，ADDCCB1，ABC60所以AB2，所以AC2AB2+BC22ABBCcos603，所以AB2AC2+BC2，所以BCAC因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，因为BC平面ABCD，所以BC平面ACFE所以BC平面AM（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系
12、，令，则C（0，0，0），B（0，1，0），M（，0，1），设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x1，则(1，)，(1，0，0)是平面FCB的一个法向量cos，当时，cos有最大值，的最小值为19.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，.（1）求服务通道的长度；（2）求折线段赛道的长度的取值范围.【答案】（1）5（2）见解析【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：，.，又，在中，.（2）在中，.由余弦定理得，即，故，从而，即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.所以折线段赛道的长度的取值范围是20.已知抛
13、物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.（）求抛物线的方程；（）已知，求的值.【答案】（）；（）见解析.【解析】（）由抛物线的定义可以，,抛物线的方程为. （）由（）可知，点的坐标为设，将直线与抛物线联立得：又，即，将代入得，即得或 当时，直线为，此时直线恒过;当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以21.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，成等差数列.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.【解析】（1）由已知，所以是常数列，故设的公比是，由已知得，所以所以，故（2）累加得：所以，得证.22.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，其右焦点F到直线的距离为1，离心率为，A，B分别为椭圆的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆交于C，D两点，与y轴交于点P，直线与交于点Q.（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程；（3）若三点不共线，直线的斜率存在，求证：【解析】（1）解：由题意可知，所以，所以，所以椭圆的标准方程为（2）解：因为直线l不与x轴重合，所以斜率不为0.因为l过点，所以设直线l的方程为.由，得.设，则，则因为，所以，得，所以，所以直线l的方程为（3） 证明：即证在中令得，所以.而直线的方程为，直线的方程为.由此得到.不妨设，则，所以.将代入式，得， 所以