1、第二章知能基础测试时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2答案A解析增加的一条侧棱与其不相邻的k2条侧棱形成k2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k1个对角面，f(k1)f(k)k1.故选A.2“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电，金、银、铜、铁、锡都是金属，所以一切金属都导电”此推理方法是()A完全归纳推理 B归纳推理C类比推理
2、D演绎推理答案B解析一切金属除上面列举的几种以外还有许多，故此推理过程为归纳推理故选B.3已知a0，b0，a、b的等差中项为，且a，b，则的最小值为()A3 B4C5 D6答案C解析由已知得ab1，ab13325.故选C.4已知f(x)x3x(xR)，a、b、cR，且ab0，bc0，ca0，则f(a)f(b)f(c)的符号为()A正 B负C等于0 D无法确定答案A解析f(x)3x210，f(x)在R上是增函数又ab0，ab.f(a)f(b)又f(x)x3x是奇函数，f(a)f(b)，即f(a)f(b)0.同理：f(b)f(c)0，f(c)f(a)0，f(a)f(b)f(c)0，故选A.5利用数
3、学归纳法证明不等式1mn成立的充要条件是()Am，n都等于1 Bm，n都不等于2Cm，n都大于1 Dm，n至少有一个等于1答案D解析mnmn，(m1)(n1)0且x1时，lgx2B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0b，则有bb，bc则有ac.则称“”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：_.答案答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等解析(1)令A为所有三角形构成的集合，定义A中两三角形的全等为关系“”，则其为等价关系(2)令B为所有正方形构成的集合，
4、定义B中两个元素相似为关系“”，则其为等价关系(3)令C为一切非零向量的构成的集合，定义C中任两向量共线为关系“”，则其为等价关系三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)求证：当m为实数时，关于x的一元二次方程x25xm0与方程2x2x6m0至少有一个方程有实根证明假设上述两方程都无实根，则化简得显然满足该不等式组的实数m不存在，因此假设不成立所以当mR时，所给两方程至少有一个有实根18(本题满分12分)已知a、bR，求证：.证明设f(x)，x0，)设x1、x2是0，)上的任意两个实数，且0x1x10，所以f(x2)f(x1)所以f(
5、x)在0，)上是增函数(大前提)由|a|b|ab|0(小前提)知f(|a|b|)f(|ab|)即成立19(本题满分12分)设a，bR，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明证法1：用分析法要证a3b3a2bab2成立，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因ab0，只需证a2abb2ab成立只需证a22abb20成立即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证证法2：用综合法abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.注意到a，bR，ab0，由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)a3b3a2bab2.20(本题满分12分)如图，A是BC
6、D所在平面外一点，ABDACD90，ABAC，E是BC的中点求证：(1)ADBC；(2)AED是钝角三角形证明(1)ABDACD90，BD，CD，又ABAC，BDCD.又E为BC的中点，DEBC，AEBC.BC平面ADE，ADBC.(2)设CDa，ACb，CEx，则AD2a2b2，DE2a2x2，AE2b2x2.在AED中，由余弦定理得cosAED0，b1a0.(ax2by2)(axby)2(aa2)x22abxy(bb2)y2a(1a)x22a(1a)xya(1a)y2a(1a)(x22xyy2)a(1a)(xy)2，又a0,1a0，(xy)20，(ax2by2)(axby)20，即ax2by2(axby)2.22(本题满分14分)在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解析(1)由S1a1得a1，an0，a11.由S2a1a2得a2a210.a21.由S3a1a2a3得a2a310.a3.(2)猜想an(nN*)证明如下：n1时，a1命题成立假设nk时，ak成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，a2ak110.ak1.即nk1时，命题成立，由知，nN*，an.
