1、第三章 导数应用 A组基础巩固1函数f(x)2x36x218x7在1,4上的最小值为()A64B51C56 D61解析：f(x)6x212x18，令f(x)0，解得x11，x23，f(3)61，f(1)29，f(4)47.所以所求的最小值为61.答案：D2已知函数f(x)x22x3在a,2上的最大值为，则a的值为()A B.C D.或解析：当a1时，最大值为4，不合题意；当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，此时f(a)最大，所以a22a3，解得a或a(舍去)答案：C3若函数f(x)asin xsin 3x在x处有最值，那么a等于()A2 B1C. D0解析：f(x)acos xcos 3x
2、(xR)，又f(x)在x处有最值，故x是函数f(x)的极值点，所以f()acoscos 0，即a2，故选A.答案：A4函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()A. B.C1，e D(1，e)解析：f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，f(x)在上是增函数f(x)的最大值为f()e，f(x)的最小值为f(0).答案：A5如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A. B.C.d D.
3、d解析：设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0xd时，f(x)0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以xd时，f(x)有最大值，故选C.答案：C6设x0是函数f(x)(exex)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0)处的切线方程是_解析：f(x)(exex)，令f(x)0，x0，可知x00为最小值点切点为(0,1)，f(0)0为切线斜率，切线方程为y1.答案：y17函数f(x)4x2(x2)在
4、1,1上的最小值为_，最大值为_解析：f(x)4x38x2，f(x)12x216x4x(3x4)令f(x)0，则x0或x.又x1,1，f(1)4，f(0)0，f(1)12.f(x)的最大值为0，最小值为12.答案：1208设f(x)x3x22x5，当x1,2时，f(x)7.答案：(7，)9求函数yf(x)在区间0,4上的最值解析：y.令y0，即x22x10，得x1，而x10,4当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，4)时，f(x)15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0)，则()Aa2，b29 Ba3，b2Ca2，b3 D以上都不对解析：f(x)3ax212ax3ax(x4)，由f(x
5、)0，解得x0或x4(舍)，又f(1)b7a，f(0)b，f(2)b16a，f(x)minb16a，f(x)maxb，故选C.答案：C2函数f(x)ex(sin xcos x)在区间0，上的值域为()A B()C D()解析：f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x.当x0，时，f(x)0，即f(x)在0，上是增加的f(x)maxf()e，f(x)minf(0).答案：A3某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x6)，年销量为u万件，若已知u与(x)2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件，则该产品的年最大利润为_万元解析：设uk(x)2，因为售价为
6、10元时，年销量为28万件，所以28k(10)2，解得k2，所以u22x221x18，所以年利润f(x)(x6)(2x221x18)2x333x2108x108，则f(x)6x266x1086(x2)(x9)令f(x)0，得x2或x9，因为x6，所以x9.当6x9时，f(x)0；当x9时，f(x)0，所以x9为f(x)的极大值点，所以当x9时，年利润最大，最大年利润为f(9)135万元答案：1354等腰梯形ABCD中，上底CD40，腰AD40，则AB_时，等腰梯形面积最大解析：如图，设A，则hADsin ，AB402ADcos ，故SADsin (40402ADcos )20(8080cos
7、)sin 1 600(1cos )sin .S1 600cos (1cos )sin sin ，令S0得cos 1，cos .因为0，所以cos 0.所以cos .即时，等腰梯形的面积最大，此时AB4024080.答案：805已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若x4,3时，有f(x)m2m恒成立，求实数m的取值范围解析：(1)f(x)x2a，由题意令f(x)x240，得f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)(2)f(x)x34x4，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x4(4，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)0
8、0f(x)1所以x4,3时，f(x)max.于是f(x)m2m在x4,3上恒成立，等价于m2m，解得m(，32，)6已知函数f(x)exkx，xR.(1)若ke，试确定函数yf(x)的单调区间；(2)若k0，且对于任意xR，yf(|x|)0恒成立，试确定实数k的取值范围解析：(1)由ke得f(x)exex，所以f(x)exe.由f(x)0得x1，故yf(x)的递增区间是(1，)，由f(x)0得x0对任意xR成立等价于yf(x)0对任意x0成立由f(x)exk0得xln k.当k(0,1时，f(x)exk1k0(x0)，此时yf(x)在0，)上是增加的，故f(x)f(0)10，符合题意当k(1，)时，ln k0，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，ln k)ln k(ln k，)f(x)0f(x)极小值由此可得，在0，)上f(x)f(ln k)kkln k.依题意，kkln k0，又k1，所以1ke.综合得，实数k的取值范围是0ke.