1、2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xR，|x|x，则p为（）Ax0R，|x0|x0BxR，|x|xCxR，|x|xDx0R，|x0|x02（5分）椭圆点1的离心率为（）ABCD3（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD4（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1，1，1）C（1，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，
2、1，2）5（5分）若x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为（）A1B0CD16（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，若，则（）A +B C D 7（5分）已知数列an满足a11，an+1an+2n1，则a5（）A16B17C31D328（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a2成等差数列，则q（）ABCD或10（5分）过焦点为F的抛物线y212x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为，则|MF|（）A2B2C4D411（5分）如图，在三棱锥PABC中，
3、ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）ABCD12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c2，且2asinCcosBasinAbsinB+bsinC，点O满足，cosCAO，则ABC的面积为（）AB3C5D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13（5分）命题“若x1，则x0”的否命题是 命题（填“真”或“假”）14（5分）双曲线x22y22的渐近线方程为 15（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinBcsinC3c
4、sinA，且a2c，则B 16（5分）已知x0，y0，且+2，若4x+y7mm2恒成立，则m的取值范围为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosCcsin A（1）求C；（2）若c3，ABC的面积为，求ABC的周长18（12分）在等差数列an中，a57，a2+a612（1）求an的通项公式；（2）设bn，求数列，bn的前n项和Sn19（12分）在PCD中，PCD，A，B分别为PD，PC的中点，现将PAB沿AB折起，使PBC为正三角形，且CDBC4（1）证明：AB平面PBC（2）求直
5、线DP与平面PAC所成角的余弦值20（12分）如图，在三棱锥SABC中，ACBC，SABC，SCAC，SC6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CMMN2，BC3BN6（1）证明：MNSM；（2）求二面角ASMN的余弦值21（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|22（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆
6、C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设命题p：xR，|x|x，则p为（）Ax0R，|x0|x0BxR，|x|xCxR，|x|xDx0R，|x0|x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定p：x0R，|x0|x0，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础2（5分）椭圆点1
7、的离心率为（）ABCD【分析】求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可【解答】解：椭圆点1，可得a，b，c，可得e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力3（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）ABCD【分析】利用双曲线的离心率以及虚轴长，列出方程组，然后求解双曲线方程即可【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由，得可得故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力4（5分）设直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，则使l成立的是（）A（1，1，2），（1，1，2）B（2，1，3），（1
8、，1，1）C（1，1，0），（2，1，0）D（1，2，1），（1，1，2）【分析】由直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，得到0，由此能求出结果【解答】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为，l，使l成立，0，在A中，1146，故A错误；在B中，21+30，故B成立；在C中，211，故C错误；在D中，12+21，故D错误故选：B【点评】本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题5（5分）若x，y满足约束条件，则z2xy的最小值为（）A1B0CD1【分析】作出满足不等式组的可行域，由z2xy可得y2xz可
9、得z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z2xy可得y2xz，则z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小作直线L：y2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，由可得A（，），此时z故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题6（5分）在三棱柱ABCA1B1C1中，若，则（）A +B C D 【分析】利用即可得出【解答】解：故选：B【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）已知数列an满足a11，an
10、+1an+2n1，则a5（）A16B17C31D32【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可【解答】解：数列an满足a11，an+1an+2n1，则a2a1+202，a3a2+24，a4a3+224+48，a5a4+238+816故选：A【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力8（5分）“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先求“方程1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m（2，4）（4，6）”，再由集合A（2，4）（4，6），集合B（2，6）的包含关系得解【解答】解：“方程1表示的曲线为椭圆
11、”的充要条件为，解得：m（2，4）（4，6），设集合A（2，4）（4，6），集合B（2，6），因为AB，所以“方程1表示的曲线为椭圆”是“2m6”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题9（5分）已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a2成等差数列，则q（）ABCD或【分析】由题意可得q0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求q的值【解答】解：等比数列an的各项均为正数，且q0，由a1，a2成等差数列，可得a3a1+a2，即有a1q2+a1+a1q，即有q2q10，解得q，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项
12、公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题10（5分）过焦点为F的抛物线y212x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为，则|MF|（）A2B2C4D4【分析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可【解答】解：抛物线y212x的焦点坐标（3，0），则DF6，直线NF的斜率为，可得DN2，则抛物线y212x可得：1212x，解得x1，所以M（1，2），|MF|3+14故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力11（5分）如图，在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPC4，平面PAC平
13、面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，PAPC，ACOP，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，OP平面ABC，又ABBC，ACOB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，PAC是等腰直角三角形，PAPC4，ABC为直角三角形，A（2，0，0），C（2，0，0），P（0，0，2），D（，0），（4，0，0），（，2），cos，异面直线AC与PD所成角的余弦值为故选：
14、B【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题12（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c2，且2asinCcosBasinAbsinB+bsinC，点O满足，cosCAO，则ABC的面积为（）AB3C5D【分析】求出b的值，根据余弦定理求出|，从而求出三角形的面积即可【解答】解：2asinCcosBasinAbsinB+bsinC，2aca2b2+bc，即cb，又c2，故b4，O是ABC的重心，+3，故3，两边平方得：96|cosCAO+，cosCAO，故96|+，于是99
15、|40，故|，AOC的面积S|sinCAO，故SABC，故选：D【点评】本题考查了余弦定理的应用以及三角形的面积以及转化思想，是一道常规题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13（5分）命题“若x1，则x0”的否命题是假命题（填“真”或“假”）【分析】根据否命题的定义写出并判断命题的真假【解答】解：命题“若x1，则x0”的否命题是“若x1，则x0”，可判断为假命题【点评】本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键14（5分）双曲线x22y22的渐近线方程为yx【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐
16、近线方程为yx，即可得到所求【解答】解：双曲线x22y22即为：y21，即有a，b1，则渐近线方程为yx，即有yx故答案为：yx【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题15（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinBcsinC3csinA，且a2c，则B【分析】由已知利用正弦定理可得b2c23ca，又a2c，利用余弦定理可求cosB，结合范围B（0，），可求B的值【解答】解：bsinBcsinC3csinA，b2c23ca，又a2c，cosB，B（0，），B故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，
17、考查了计算能力和转化思想，属于基础题16（5分）已知x0，y0，且+2，若4x+y7mm2恒成立，则m的取值范围为（，3）（4，+）【分析】由已知可得4x+y（4x+y）（），利用基本不等式可求其最值，然后由4x+y7mm2恒成立，可知（4x+y）min7mm2，可求【解答】解：x0，y0，且+2，4x+y（4x+y）（）12，当且仅当且即x，y6时取得最小值12，4x+y7mm2恒成立，127mm2，解可得m4或m3，则m的取值范围为（4，+）（，3），故答案为：（4，+）（，3）【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，一元二次不等式的解法，恒成立问题与最值问题的转化是求解本题的
18、关键三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosCcsin A（1）求C；（2）若c3，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinA0，利用同角三角函数基本关系式可求tanC，结合范围C（0，），可求C（2）由已知利用三角形面积公式可求ab4，进而根据余弦定理可得a+b，即可求得三角形的周长【解答】解：（1）acosCcsin A，由正弦定理可得： sinAcosCsinCsinA，sinA0，cosCsinC，可得：tanC，C（0，），C（2）c3
19、，C，ABC的面积为absinCab，可得：ab4，由余弦定理可得：18a2+b2ab（a+b）23ab（a+b）212，解得：a+b，ABC的周长a+b+c+3【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）在等差数列an中，a57，a2+a612（1）求an的通项公式；（2）设bn，求数列，bn的前n项和Sn【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；（2）求得bn（），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：（1）等差数列an的
20、公差设为d，a57，a2+a612，可得a1+4d7，2a1+6d12，解得a13，d1，可得ana1+（n1）d3+n1n+2；（2）bn（），可得前n项和Sn（+）（+）【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题19（12分）在PCD中，PCD，A，B分别为PD，PC的中点，现将PAB沿AB折起，使PBC为正三角形，且CDBC4（1）证明：AB平面PBC（2）求直线DP与平面PAC所成角的余弦值【分析】（1）推导出ABPB，ABBC，由此能证明AB平面PBC（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系
21、，利用向量法能求出直线DP与平面PAC所成角的余弦值【解答】证明：（1）在PCD中，PCD，A，B分别为PD，PC的中点，将PAB沿AB折起，使PBC为正三角形，且CDBC4PA2，AB2，AB2+PB2PA2，ABPB，ABBC，PBBCB，AB平面PBC（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，D（4，4，0），P（0，0，4），A（2，0，0），C（0，4，0），（4，4，4），（2，0，4），（0，4，4），设平面PAC的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，1，1），设直线DP与平面PAC所成角为，则sincos直线DP与平面PAC所成角的余弦值为
22、【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（12分）如图，在三棱锥SABC中，ACBC，SABC，SCAC，SC6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CMMN2，BC3BN6（1）证明：MNSM；（2）求二面角ASMN的余弦值【分析】（1）由ACBC，SABC，得BCSC，又SCAC，得SC平面ABC，SCMN再求出CMMN从而MN平面SCM，由此能证明MNSM（2）过M作MG垂直CN于G，以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，利用向量法能求
23、出二面角ASMN的余弦值【解答】证明：（1）由ACBC，SABC，且SAACA，则BC平面SAC，SC平面SAC，故BCSC，又SCAC，BCACC，则SC平面ABC，MN平面ABC，故SCMN因为NC4，所以CN2CM2+NM2，故CMMN又因为CMSCC，所以MN平面SCM，又SM平面SCM，则MNSM解：（2）由（1）知，CMN为等腰直角三角形，过M作MG垂直CN于G，由题意知，CGGNMG2，又BC3BN，故BG4由ACBC，MGCN，得ACGM，故AC3以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则C（0，0，0），A（0，3，0），S（0，
24、0，6），M（2，2，0），N（4，0，0），设平面SAM的法向量为，则，令x11，得设平面SMN的法向量为则，令x23，则y23，z22，故，由图可知二面角ASMN为钝角，故二面角ASMN的余弦值为【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|【分析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x2相切，所以点C的轨迹是以F
25、为焦点x2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y28x（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12y228（x1x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k4，则直线l的方程为y14（x1），即y4x3，与y28x联立得16x232x+90，得，【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位
26、置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，转化求解K，即可得到直线方程【解答】解：（1）直线的一般方程为bx+ayab0依题意，解得，故椭圆C的方程式为（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx+2由，得（3+5k2）x2+20kx+50由400k220（3+5k2）0，得记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，而y1y2（kx1+2）（kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+4要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，即0，所以0，整理解得或，所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为或【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力