1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点6 函数的奇偶性与周期性（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性； 二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x)，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定
2、义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； （6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的
3、定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破 1奇偶性辨析例1.下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是A1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1
4、)f(x)|x|(x21)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)；(5)f(x)(x1).解析 (1)此函数的定义域为R.f(x)|x|(x)21|x|(x21)f(x)，f(x)f (x)，即f(x)是偶函数(2)此函数的定义域为x0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(3)此函数的定义域为2，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)此函数的定义域为1， 1，且f(x)0，可知图像既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数(5)定义域：1x1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数2.奇偶性的应用例3.已知函
5、数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，即， 是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，则的解析式为（2）已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 （） 例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）当时， ，此时为偶函数；当时，此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）当时，函数，若，则函数在上单调递减，函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数
6、的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)解 (1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(
7、x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.从而求得x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R的函数f(x)是奇函数求a、b的值；若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即0，b1，f(x)，又由f(1)f(1)知，解得a2.由知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)k2t2，即对任意的tR恒有：3t22tk0，从而412k0，k.