1、限时规范训练1已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()ABC D解析：对于，存在一个平面，则，反之也对，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除B，C；对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90，即，反之也对，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除A，选D.答案：D2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.5 B.C.6 D.5解析：由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为
2、1、高为1的正四棱锥，侧面三角形的高为；下部是棱长为1的正方体；该几何体的表面积为141155，故选D.答案：D3.(2016天津模拟)如图为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A6B6C3D3解析：分析三视图可知，该几何体是由一个长方体挖去半个圆柱而得到的，如图所示，因而其体积为211.5121.53.故选D.答案：D4.已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧视图如图所示当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为()A8B88C8D48解析：由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示其正视图与侧视图相同，设正四棱锥的高为h，则a2h24.故正视图的面积为S2ahah2，当且仅当ah时，S最大故该
3、正四棱锥的表面积为S表(2a)242a288.故选B.答案：B5已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B2C4 D3解析：因为该直三棱柱的外接球的表面积是16，所以该球的半径为R2.又直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，所以该三棱柱的底面斜边所在的侧面必过球心，故该三棱柱的侧棱长是2，故选A.答案：A6(2016昆明模拟)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.解析：依题意，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABCA1B1C1(其底面边长是2)
4、中截去三棱锥EA1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥EA1B1C1的体积为VEA1B1C121，剩余部分的体积为VVABCA1B1C1VEA1B1C122，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选A.答案：A7四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有_对解析：由题意可得PABC，PACD，ABPD，BDPA，BDPC，ADPB，即互相垂直的异面直线共有6对答案：68.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿
5、EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_解析：如图，取BC的中点H，连接FH，AH，BEFH，AFH即为异面直线AF与BE所成的角过A作AGEF于G，则G为EF的中点连接HG，HE，则HGE是直角三角形设正方形边长为2，则EF，HE，EG，HG，AH.由余弦定理知cos AFH.答案：9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球的表面积的比值为_解析：该几何体是棱长为1的正八面体，其表面积为811sin 602，其外接球的半径为，故外接球的表面积为422，所以所求比值为.答案：10.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB
6、1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1DD1，且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，所以B1D1平面A1BD.(2)证明：因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，所以AC平面BB1D1D.而MD平面BB1D1D，所以MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O
7、，连接OM，BN(图略)因为N是DC的中点，BDBC，所以BNDC，所以BN平面DCC1D1.又O是NN1的中点，所以BMON且BMON，即四边形BMON是平行四边形，所以BNOM，所以OM平面CC1D1D.又OM平面DMC1，所以平面DMC1平面CC1D1D.11(2016湖南东部六校联考)如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且ABADCD1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直(1)求证：BC平面BDE；(2)若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥FBDE的体积解析：(1)证明：在矩形ADEF中，EDAD，因为平面
8、ADEF平面ABCD，所以ED平面ABCD，所以EDBC.又在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，BDC45，所以BC，在BCD中，BDBC，CD2，所以BD2BC2CD2，所以BCBD，所以BC平面BDE.(2)由(1)得，平面DBE平面BCE，作DHBE于点H，则DH平面BCE，所以DH.在BDE中，BDDEBEDH，即DE()，解得DE1.所以VFBDEVBEFD111.12如图，四边形ABCD为等腰梯形，且ADBC，E为BC的中点，ABADBE.现沿DE将CDE折起成四棱锥CABED，点O为ED的中点(1)在棱AC上是否存在一点M，使得OM平面CBE？并证明你的结论；(2)若AB2
9、，求四棱锥CABED的体积的最大值解析：(1)存在，当M为AC的中点时，OM平面CBE.证明如下：连接MO、CO，取BC的中点F，连接EF、MF，如图所示MF为ABC的中位线，MFAB，且MFAB.在等腰梯形ABCD中，AD綊BE，四边形ABED为平行四边形，AB綊DE.O为ED的中点，MF綊OE，四边形EFMO为平行四边形，OMEF.EF平面CBE，OM平面CBE，OM平面CBE.(2)底面四边形ABED的面积不变，要使四棱锥CABED的体积最大，只需顶点C到平面ABED的距离最大，即只需平面CDE平面ABED.COED，平面CDE平面ABEDED，CO平面CDE，CO平面ABED，CO为四棱锥CABED的高，且CO.易知S四边形ABED2，四棱锥CABED的最大体积VmaxS四边形ABEDCO2.