1、2.4.2一、选择题1过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|等于()A4pB5pC6pD8p答案A解析|PQ|x1x2p4p.2抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()Ay22x By24xCy22x Dy24x或y236x答案B解析由题意，设抛物线的标准方程为：y22px(p0)，由题意，得56，p2，抛物线方程为y24x.3与y轴相切并和圆x2y210x0外切的动圆圆心的轨迹为()A圆 B抛物线和一条射线C椭圆 D抛物线答案B解析如图，设动圆圆心坐标为(x，y)
2、，由题意得y0(x0，p4.故选C.8已知P为抛物线y24x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|d的最小值为()A4 B.C.1 D.1答案D解析因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|PF|最小，此时|PA|d也最小，|PA|d|PA|(|PF|1)|AF|111.9已知直线l：yk(x1)，抛物线C：y24x，l与C有一个公共点的直线有()A1条 B2条C3条 D1条、2条或3条答案C解析将直线l和C的方程联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.当k0时，方程只有一个解，x0.所以直线l与C只有一个公共点(0,0)，此时直线l的方程为y
3、0，当k0时(2k24)24k40，解得k1，此时l与C有一个公共点，l与C相切综上可知，当k0或k1时，l与C有一个公共点10过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是()A12B12C3D3答案D解析本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A(，y1)，B(，y2)，则(，y1)，(，y2)，则(，y1)(，y2)y1y2，又AB过焦点，则有y1y2p24，y1y243，故选D.二、填空题11抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上有一点A(4，m)，其到准线的距离为6，则m_.答案4解析x14，p4，y28x，将A(4，m)代入，解得m4.12抛物线y22
4、px(p0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是_答案1或9解析设抛物线上一点M坐标为(x0，y0)由题意，得y06，x010，又y2px0，解得x01或9.13(2010重庆文，13)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.答案2解析本题考查抛物线的定义，基本知识点设A点(x1，y1)，B点(x2，y2)抛物线y24x，焦点为(1，c)，准线为x1.|AF|x1(1)2，所以x11.则AF与x轴垂直，|BF|AF|2.14抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为_答案2解析由题意，设A点坐标
5、为(x,2)，则x3，又焦点F(1,0)，焦点到AB的距离为2.三、解答题15根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是F(3,0)(2)准线方程是x.(3)焦点到准线的距离是2.解析(1)设抛物线的标准方程为y22px(p0)，又焦点F(3,0)，p6，抛物线方程为y212x.(2)由题意，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，又准线方程为x，p，抛物线方程为：y2x.(3)焦点到准线的距离为2，抛物线的标准方程为y24x或x24y.16求证：以抛物线y22px过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切证明如图，过A、B分别作AC、BD垂直于l，垂足为C、D，取AB中点M，作MHl于H
6、.由抛物线定义，知|AC|AF|，|BD|BF|.|AB|AC|BD|.又ACDB是梯形，MH是其中位线，|MH|(|AC|BD|)|AB|.|MH|是圆M的半径，从而命题得证17如下图所示，线段AB为抛物线yx2上的动弦，且|AB|a(a为常数，且a1)，求弦的中点M到x轴的最近距离解析如下图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线yx2的准线上的射影分别为A，M，B，由抛物线的定义，得|AF|AA|y1，|BF|BB|y3，y1|AF|，y3|BF|.又M是线段AB的中点，y2(y1y3)(|AF|BF|)(|AB|)(2a1)当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为(2a1)18点P在抛物线2y2x上，点Q在圆(x2)2y21上，求|PQ|的最小值解析圆(x2)2y21的圆心为M(2,0)，设P(2y，y1)，则|PM|2(2y2)2y4y7y44(y)2.|PM|，|PQ|min|PM|min11.此时P点的坐标为(，)或(，)