1、课时跟踪检测(四十八)空间角一保高考，全练题型做到高考达标1(2016郑州模拟)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC平面AA1C1C，A1AC60，BCA90.(1)求证：A1BAC1；(2)已知点E是AB的中点，BCAC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且A1AC60，所以A1AC为等边三角形，所以A1OAC.又平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，所以A1O平面ABC，所以A1OBC.又BCAC，A1OACO，所以BC平面AA1C1C
2、，所以AC1BC.在菱形AA1C1C中，AC1A1C，所以AC1平面A1BC，所以A1BAC1.(2)连接OE，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则A(0，1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)，(2,2,0)，(0,1，)，设m(x，y，z)是平面ABB1A1的法向量，则m0，m0，即取z1，可得m(，1)又E(1,0,0)，所以(1,2，)，设直线EC1与平面ABB1A1所成的角为，则sin |cos，m|.即直线EC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上(1)
3、求证：BCA1B；(2)若AD，ABBC2，P为AC的中点，求二面角PA1BC的平面角的余弦值解：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，A1A平面ABC，又BC平面ABC，A1ABC.AD平面A1BC，且BC平面A1BC，ADBC.又AA1平面A1AB，AD平面A1AB，A1AADA，BC平面A1AB，又A1B平面A1BC，BCA1B.(2)由(1)知BC平面A1AB，AB平面A1AB，从而BCAB.如图，以B为原点，BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，ADA1B.在RtABD中，AD，AB2，sinABD，
4、ABD60，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAB，在RtABA1中，AA1ABtan 602，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，P(1,1,0)，A1(0,2,2)，(1,1,0)，(0,2,2)，(2,0,0)设平面PA1B的一个法向量n1(x1，y1，z1)，则即令x13，可得n1(3，3，)；设平面CA1B的一个法向量n2(x2，y2，z2)，则即令y23，可得n2(0，3，)cosn1，n2，二面角PA1BC的平面角的余弦值为.3(2015湖南高考)如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A6，且A1A底面ABCD，点P，Q分别在棱
5、DD1，BC上(1)若P是DD1的中点，证明：AB1PQ；(2)若PQ平面ABB1A1，二面角PQDA的余弦值为，求四面体ADPQ的体积解：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0，6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中mBQ，0m6.(1)证明：若P是DD1的中点，则P，.又(3,0,6)，于是18180，所以，即AB1PQ.(2)由题设知，(6，m6,0)，(0，3,6)是平面PQD内的两个不共线向量设n1(x，y，z)是平
6、面PQD的一个法向量，则即取y6，得n1(6m,6,3)又平面AQD的一个法向量是n2(0,0,1)，所以cosn1，n2 .而二面角PQDA的余弦值为，因此，解得m4或m8(舍去)，此时Q(6,4,0)设 (01)，而(0，3,6)，由此得点P(0,63，6)，所以(6,32，6)因为PQ平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是n3(0,1,0)，所以n30，即320，亦即，从而P(0,4,4)于是，将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥PADQ，则其高h4，故四面体ADPQ的体积VSADQh66424.4(2015天津高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A
7、底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1，2,0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0，2)，D1(1，2,2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，所以M，N(1，2,1)(1)证明：依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得n0.又因为直
8、线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2,2)，(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的一个法向量，则即不妨设z11，可得n1(0,1,1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，则又(0,1,2)，所以不妨设z21，可得n2(0，2,1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2，所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0,1，则E(0，2)，从而(1，2,1)又n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得|cos，n|，整理得2430，解得2.又因为0,1，所以2.所以线段A1E的长为2.二上台阶，自主选做志在
9、冲刺名校如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACABAA1，E，F分别是棱BC，A1A的中点，G为棱CC1上的一点，且C1F平面AEG.(1)求的值；(2)求证：EGA1C；(3)求二面角A1 AG E的余弦值解：(1)因为C1F平面AEG，又C1F平面ACC1A1，平面ACC1A1平面AEGAG，所以C1FAG.因为F为AA1中点，且侧面ACC1A1为平行四边形，所以G为CC1的中点，所以.(2)证明：因为AA1底面ABC，所以AA1AB，AA1AC.又ABAC，如图所示，以A为原点建立直角坐标系A xyz，设AB2，则由ABACAA1可得C(2，0,0)，B(0,2,0)，C1(2,0,2)，A1(0,0,2)因为E，G分别是BC，CC1的中点，所以E(1,1,0)，G(2,0,1)，(1，1,1)(2,0,2)0.所以，所以EGA1C.(3)设平面AEG的法向量n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z2，所以n(1，1，2)，由已知可得平面A1AG的法向量m(0,1,0)，所以cosn，m.由题意知二面角A1AGE为钝角，所以二面角A1AGE的余弦值为.