1、第一章 三角函数章末检测(一)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点A(sin 2 019，cos 2 019)位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：2 0195360219，2 019角为第三象限角，sin 2 0190，cos 2 0190，点A(sin 2019，cos 2 019)位于第三象限，故选C.答案：C2是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则sin 的值为()A. B.C. D解析：|OP|，cos x又因为是第二象限角，x0，得x，sin ，故
2、选A.答案：A3若点(a,9)在函数y3x的图像上，则tan 的值为()A0 B.C1 D.解析：点(a,9)在函数y3x的图像上，93a，a2，tan tan .答案：D4点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析：点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，QOx，Q(cos ，sin )，即Q(，)，故选C.答案：C5若ABC的两内角，满足cos cos 0，则此三角形为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上情况均有可能解析：，为ABC的内角，且cos cos 0，中必有一个角为钝角，ABC为钝角三角形答
3、案：B6函数ysin(2x)的一个递减区间为()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：由2k2x2k，kZ，得x(k，k)(kZ)时，函数单调递减，因此当k0时，函数的一个递减区间为(，)，选A.答案：A7已知tan ，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，且3，则cos sin ()A. B.C D解析：tan ，是关于x的方程x2kxk230的两个实根，tan k，tan k231.又3，k0，k2，tan 1，3，cos ，sin ，cos sin ，故选C.答案：C8已知函数f(x)Atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图像如图，则f()()A2 B.C. D2解析：由图像
4、可知：T2()，2，2k.又|，.又f(0)1，Atan 1，得A1，f(x)tan(2x)，f()tan()tan .答案：B9若函数f(x)2sin(x)对任意x都有f(x)f(x)，则f()等于()A2或0 B2或2C0 D2或0解析：由f(x)f(x)可知直线x是函数f(x)的图像的一条对称轴又y2sin(x)在对称轴处取得最值，故选B.答案：B10已知函数f(x)cos(2x)(0)在区间上单调递减，在区间上有零点，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：当x时，2x.又(0，)，f(x)在上单调递减，0，即，.由cos(2x)0，得2xk，kZ，x，kZ，0，解得，综上，故选C
5、.答案：C11已知函数f(x)sin 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2y2k2上，则f(x)的最小正周期是()A1 B2C3 D4解析：由三角函数的周期性可知点(，)在圆x2y2k2上，所以()2()2k2.解得k2.此时，函数的最小正周期是T2|k|4.答案：D12同时具有下列性质：“对任意xR，f(x)f(x)恒成立；图像关于直线x对称；在，上是增函数”的函数可以是()Af(x)sin() Bf(x)sin(2x)Cf(x)cos(2x) Df(x)cos(2x)解析：f(x)sin()的周期为4，A错；f(x)sin(2x)的周期为，当x时，f(x)1，所以x为其一条
6、对称轴，若x，则2x，所以f(x)在，上是增函数，B正确；当x时，f(x)cos(2x)1，当x，时，2x0，所以f(x)cos(2x)在，上是减函数，C错；当x时，f(x)cos(2x)0，所以x不是f(x)cos(2x)的对称轴，D错综上所述，符合要求的函数只有B项正确答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13log4sinlog9tan()_.解析：sinsinsin，tantantan，log4sinlog9tanlog4log9log2log3.答案：14已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|，xR)在一个周期内的图像如图所示，则其解
7、析式为_解析：由图像可知T4，A2，由“五点法”可知，.答案：y2sin(x)15如图，在ABC中，ABAC，ABC45，以AB为直径的O交BC于点D，若BC4，则图中阴影部分的面积为_解析：连接OD(图略)，因为ABAC，ABC45，所以ACB45，又ODOB，所以ODB45，所以ODCA，所以BODDOA90.又圆的半径为r22，所以所求阴影部分的面积为S22222.答案：216设函数f(x)sin(2x)(x0，)，若方程f(x)a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1x2x3)，则2x13x2x3的值为_解析：由x0，得2x，画出函数f(x)的大致图像，如图所示，由图，可得当a1时
8、，方程f(x)a恰有三个根，由2x，得x；由2x，得x，由图可知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x对称；点(x2,0)和点(x3,0)关于直线x对称，所以x1x2，x2x3，所以2x13x2x32(x1x2)(x2x3).答案：三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)化简下列各式：(1)；(2)sin 750sin 150cos 930cos(870)tan 600tan 1 110.解析：(1)原式sin sin 0.(2)原式sin(236030)sin(18030)cos(2360210)cos(2360150)tan(360
9、240)tan(336030)sin 30sin 30cos 210cos 150tan 240tan 30sin230cos(18030)cos(18030)tan(18060)tan 30sin230cos230tan 60tan 30()2()22.18(12分)设f(x)2cos(2x)3.(1)求f(x)的最大值及单调递减区间；(2)若锐角满足f()32，求tan 的值解析：(1)f(x)的最大值为23，令2k2x2k，得kxk，函数f(x)的单调递减区间是k，k(kZ)(2)由f()32，得2cos(2)332，故cos(2)1.又由0，得2，故2.解得.从而tan tan .19
10、(12分)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)在一个周期内的图像如图所示(1)求函数的解析式；(2)设0x，且方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和解析：(1)显然A2，又图像过(0,1)点，f(0)1.sin .|，.由图像结合“五点法”可知，(，0)对应函数ysin x图像上的点(2，0)，2，得2.所求的函数的解析式为f(x)2sin(2x)(2)在同一坐标系中画出y2sin(2x)和ym(mR)的图像(图略)，由图可知，当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根m的取值范围为2m1或1m2.当2m1时，两根和为；
11、当1m2时，两根和为.20.(12分)如图，函数y2cos(x)(xR,0)的图像与y轴交于点(0，)，且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点A(，0)，点P是该函数图像上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0，x0，时，求x0的值解析：(1)将x0，y代入函数y2cos(x)中得cos ，因为0，所以.由已知T且0，得2.(2)因为点A(，0)，又Q(x0，y0)是PA的中点，y0，所以点P的坐标为(2x0，)又因为点P在y2cos(2x)的图像上，且x0，所以cos(4x0)，4x0，从而得4x0或4x0，即x0或x0.21(13分)某景区客栈的工作人员为了控制经营成本
12、，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多若入住客栈的游客人数y与月份x(xN)之间的关系可用函数yAsin(x)b(A0，0,0|)近似描述(1)求该函数的解析式；(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？解析：(1)由，得最小正周期T12，所以；由，得f(2)最小，f(8)最大，且f(8)f(2)400；由，得f(x)
13、在2,8上单调递增，且f(2)100，所以f(8)500，所以，解得.又f(2)最小，f(8)最大，所以.由于0|，所以，所以y200sin(x)300(xN，且1x12)(2)由200sin(x)300400，得sin(x)，所以2kx2k(kZ)，解得12k6x12k10(kZ)因为xN，且1x12，所以x6,7,8,9,10，即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐22(13分)已知函数f(x)asin(2x)1(a0)的定义域为R，若当x时，f(x)的最大值为2.(1)求a的值；(2)试用五点法作出该函数在一个周期闭区间上的图像，并求出该图像对称中心的坐标和对称轴的方程解析：(1)x2x2x1sin(2x)f(x)maxa1，a12，即a2.(2)列表：2x02xy13111描点连线如图：由2xk，得x(kZ)对称中心为(，1)(kZ)由2xk，得对称轴方程为x(kZ)